BERUHT ÜBEB DES B0LYA1 PBEIS. 345 



F iX X\ + F ts X 9 +,;.- + F, m X, ;< = U (f-1, 2 n, 



vorgelegt, worin F n , . . ., F tm Lr*'u r <'I ^-n*' Formen von ',. ,/ 2 c„ 



bedeuten, so führt die Aufstellung der Relationen zwischen äen Lösungen 

 desselben zu einem zweiten Gleiehungssystem von derselben Ges1 

 zum sogenannten abgeleiteten System, das wiederum ein abgeleifc 

 System liefert u. s. f. Das so begonnene Verfahren erreicht nun immer 

 (spätestens beim »ten abgeleiteten System, das sicher keine Lösung 

 mehr bat) ein Ende. Durch die Kette von abgeleiteten Gleichungs- 

 systemen gewinnt Hilbert einen tiefen Einblick in die algebraische 

 Struktur des Modulsystems (jF\, F 8 , . . . , F m ) und ist in den Stund 

 gesetzt, die Anzahl derjenigen Bedingungen zu ermitteln, welche die 

 Koeffizienten einer Form von der l^ten Ordnung zu erfüllen haben, 

 um nach dem Modidsystern (F x , F 2 , . . ., F OT ) der Null kongruent zu 

 sein. Die Anzahl der voneinander linear unabhängigen Bedingungen 

 ^(i?) stellt Hilbert durch die bemerkenswerte Formel 



^)-Zo+z l ( J J) + -:; + ^) ''<» 



dar. wo *!,£>,..., % d gewisse dem Modulsystem \h\. /•'.,, .... / . 

 eigentümliche ganze Zahlen bedeuten und übrigens R oberhalb einer 



bestimmten Grenze genommen werden muß, ferner die Symbole (-, ) 



Binomialkoeffizienten bezeichnen. Diese ganzzahlige Funktion %(Ify 

 nennt Hilbert die charakteristische Funktion des Moduls und beweist 

 den für die Modultheorie wichtigen Satz, daß die Summe der charak- 

 teristischen Funktionen zweier Modulsysteme stets gleich ist der Summe, 

 die aus den charakteristischen Funktionen des größten gemeinsamen 

 und des kleinsten enthaltenden Modulsystems gebildet wird.* Neben- 



:; Sind (F,, F», • ■ •, F, /( ) und (//, , //, , • ■•, H h ) zwei Moduln, und ist 

 für die Gleichung 



F] Xl + • • ■ + F m x m = h, r, + • ■•■ 4- v, v 



das volle Lösungssystem 



X, = F, , , X, = F t , , • • , Am = 1' 



= 1,2,..-,*) 



und bildet man die Formen 



so ist (JT,, K., • • -, K,) der kleinste cuthaltende Modul, wahrend be» 

 kanntlich (F, ," F. , ■• ■ , F,„: ET, . H . . //, . ;< : - töte gem< 



Modul bezeichnet wird. 



