346 GUSTAV RADOS. 



"bei ist es von Interesse zu bemerken, daß die Koeffizienten % , • • ■, % d 

 mit den von Nöther definierten Geschlechtszahlen der durch das 

 Modulsystem definierten Raumkurve auf das engste zusammenhängen. 



Mittels dieser Sätze und eines Satzes über den ß- Prozeß, dessen 

 "wesentlicher Inhalt von Gordan und Mertens herrührt, gelingt es 

 nun Hilbert 7 den Fundamentalsatz der Invariantentheorie unter den 

 allgemeinsten Voraussetzungen nachzuweisen. Derselbe lautet in Hil- 

 berts Formulierung wie folgt. Ein System von Grundformen mit 

 beliebig vielen Veränderlichen, welche in vorgeschriebener Weise gleichen 

 oder verschiedenen Transformationen unterliegen, hat stets eine end- 

 liche Zahl von ganzen und rationalen Invarianten, durch welche sich 

 jede andere ganze und rationale Invariante in ganzer und rationaler 

 Weise ausdrücken läßt. 



Das gleiche gilt von den Kovarianten, Kombinanten und Kontra- 

 varianten, da diese Bildungen sich unter den Invariantenbegriff zu- 

 sammenfassen lassen. 



Versteht man unter einer irreduziblen Syzygie eine solche Rela- 

 tion zwischen den Invarianten des Grundformensystems, deren linke 

 Seite nicht durch lineare Kombination von Syzygien niederer Art er- 

 halten werden können , . so bestehen die beiden abschließenden Sätze 

 Hilberts : 



Ein endliches System von Invarianten besitzt nur eine endliche 

 Zahl von irreduziblen Syzygien. 



Die Systeme irreduzibler Syzygien verschiedener Arten bilden 

 eine Kette abgeleiteter Gleichungssysteme, die spätestens beim (m-j-l)ten 

 Gliede abbricht, wenn m die Zahl der Invarianten des vollen Systems 

 hezeichnet. 



Nachdem Hilbert die Existenz des vollen Invariantensystems 

 nachgewiesen hatte, war nun das Problem gegeben, die wirkliche Auf- 

 stellung desselben auf eine endliche Anzahl, von Beginn der Rech- 

 nung übersehbarer Prozesse zurückzuführen. Hilbert gab nun seinen 

 Untersuchungen eine merkwürdige Wendung, die die ganze Invarianten- 

 theorie in neuem Lichte erscheinen läßt. Es kann nämlich die In- 

 variantentheorie der Theorie der algebraischen Funktionenkörper derart 

 untergeordnet werden, daß sie lediglich als bemerkenswertes Beispiel 

 für diese Theorie erscheint etwa so, wie in der Zahlentheorie der 

 Kreisteilungskörper heute nur mehr als Beispiel unter den allgemeinen 

 Zahlkörpern gelten kann, an dem die Sätze der allgemeinen Zahlkörper 

 zuerst erkannt wurden. Hilbert führt nun den Nachweis dafür, daß 

 sich zu jedem Grundformensystem stets ein algebraischer Funktionen- 

 körper konstruieren lasse, dessen ganze algebraische Funktionen genau 

 mit den ganzen rationalen Invarianten des vorgelegten Grundformen- 

 systems übereinstimmen. Dies ist der Invariantenkörper. Unter der 

 Heranziehung des KRONECKERSchen fundamentalen Theorems über das 



