BERICHT &BEB DEN BOLYAI-PREIS 347 



Fundamentalsysteni eines Körpers ist es nun klar, daß aach der 

 Kenntnis des Invariantenkörpers zur Aufstellung des vollen Invarianten- 

 Systems nur noch die Lösung elementarer Aufgaben aus der arith- 

 metischen Theorie der algebraischen Punktionen oötig ist. 



Im weiteren Verlauf der Untersuchungen beweist Eilbeet einen 

 Satz, der sich den früher erwähnten schönen Theoremen über Modul- 

 systeme würdig anreiht, und den ich seiner Wichtigkeit und vielseitigen 

 Verwendbarkeit wegen besonders hervorheben möchte. Derselbe lautet: 

 Sind m ganze rationale homogene Funktionen f\. f., f der n Ver- 

 änderlichen .i\, x. 2 , v n vorgelegt und sind ferner F. 1 ./.... 



irgendwelche ganze rationale homogene Funktionen von /,. x 



von der Beschaffenheit, daß sie für alle diejenigen Wertsysteme d; 

 Veränderlichen verschwinden, für welche die vorgelegten m Funktionen 

 f t , f ay . . ., f m sämtlich gleich Null sind, dann ist es stets möglich, 

 eine ganze Zahl r zu bestimmen derart, daß jedes Produkt TI [r) von 

 beliebigen r Funktionen der Reihe F. F', F", . . . dargestellt werden 

 kann in der Gestalt 



n<r) = < h f 1 +< h f 9 +--+a n f n , 



wo Oj, Og, . . ., a m geeignet gewählte ganze rationale homogene Funk- 

 tionen der Veränderlichen x ± , ./\>, c n sind. Dieser Satz, den Hil- 



bert in einer späteren Arbeit in sinnreicher Weise zu einem überaus 

 einfachen Beweis eines ÜEDEKiNDSchen Theorems aber hyperkomplexe 

 Zahlen angewendet hatte, bildet den Kern der ganzen Theorie der 

 algebraischen Invarianten. Die weitere Theorie wird auf die Be- 

 stimmung der sogenannten Nullformen aufgebaut, d. h. von Formen. 

 deren Koeffizienten solche numerische Werte besitzen, daß alle ihre 

 Invarianten verschwinden. Eine jede dieser Nullformen kann durch 

 eine unimodulare Substitution auf eine kanonische Form gebracht 

 werden und die Aufgabe alle Nullformen aufzustellen, ist somit auf 

 die Bestimmung aller kanonischen Nullformen zurückgeführt. Die 

 hierzu notwendige Lösung von Diophantischen Ungleichungen 

 schiebt am besten auf graphischem Wege. Für die Aufstellung des 

 vollen Invariantensystems gibt Hilbert schließlich das folgende Ver- 

 fahren an: 



1. Man stelle ein System »S'j von Invarianten auf. durch welche 

 sich alle anderen Invarianten der Grundform als L r anze algebraische 

 Funktionen ausdrücken lassen: ein derartiges System S, erhält man. 

 indem man solche Invarianten auswählt, deren Verschwinden über- 

 haupt das Verschwinden aller Invarianten zur Folge hat. 



2. Man stelle ein System N, von Invarianten auf. durch welche 

 sich alle übrigen Invarianten rational ausdrücken Lass 



3. Man berechne ein vollständiges System von _ 

 braischen Funktionen in dem durch die Systeme 8, und >'.. bestimmten 



