348 GUSTAV RADOS. 



Funktionenkörper. Die Punktionen dieses Systems S 3 sind Invarianten 

 und bilden zusammengenommen mit den Invarianten 8 X das gesuchte 

 volle Invariantensystem. 



Von diesen drei Aufgaben ist die erste die schwierigste; sie wird 

 gelöst, indem man solche Invarianten ermittelt, deren Verschwinden 

 notwendig das Verschwinden aller Invarianten zur Folge hat; zu ihrer 

 Ermittelung genügt es, alle diejenigen Invarianten in Betracht zu 

 ziehen, deren Gewicht eine gewisse Zahl nicht übersteigt. Übrigens 

 zeigt Hilbert, daß das volle System der Invarianten auch ohne 

 Kenntnis eines Systems S 2 aufgestellt werden könne. 



Hilberts Arbeiten haben somit für alle wesentlichen und , bis 

 dahin ungelösten Fragen der Invariantentheorie die langgesuchte Er- 

 ledigung in der vollkommensten Weise gebracht, so daß dank der- 

 selben die Lehre von den Invarianten hinsichtlich der theoretischen 

 Fragen als abgeschlossen betrachtet werden kann. 



Ich wende mich nun den arithmetischen Untersuchungen Hilberts 

 zu. Die Zahlentheorie hat vermöge der Schlichtheit ihrer Grundlagen, 

 der Exaktheit ihrer Begriffe, der methodischen Reinheit ihrer Schlüsse 

 von jeher als Muster für alle andern mathematischen Disziplinen ge- 

 golten, hat jedoch zu ihrer Beherrschung und Förderung ein großes 

 Abstraktionsvermögen zur unerläßlichen Voraussetzung. Wir können 

 uns daher nicht wundern, daß sie auf Hilbert, den abstrakten Denker, 

 auch ihren Zauber ausübte und ihn zu tiefgehenden Untersuchungen 

 anreizte. Ich führe seine eigenen Worte an, die sein Empfinden hier- 

 für am klarsten zum Ausdruck bringen. „Die Theorie der Zahlkörper 

 ist wie ein Bauwerk von wunderbarer Schönheit und Harmonie; als 

 der am reichsten ausgestattete Teil dieses Bauwerkes erscheint mir 

 die Theorie der AßELseben und relativ- AßELSchen Körper, die uns 

 Kummer durch seine Arbeiten über die höheren .Reziprozitätsgesetze 

 und Kronecker durch seine Untersuchungen über komplexe Multipli-' 

 kasion der elliptischen Funktionen erschlossen haben. Die tiefen Ein- 

 blicke, welche die Arbeiten dieser beiden Mathematiker in die ge- 

 nannte Theorie gewähren, zeigen uns zugleich, daß in diesem Wissens- 

 gebiete eine Fülle der kostbarsten Schätze verborgen liegt, winkend 

 als reicher Lohn dem Forscher, der den Wert solcher Schätze kennt 

 und die Kunst, sie zu gewinnen mit Liebe betreibt."* Diesen schönen 

 Worten Hilberts haben wir nur hinzuzufügen, daß Hilbert selbst 

 es ist, dem es gelang die tiefstverborgenen und kostbarsten dieser 

 Schätze zu heben. Von seinen arithmetischen Untersuchungen sei als 

 erste „Ein neuer Beweis des KRONECKERSchen Fundamentalsatzes über 

 AßELSche Zahlkörper" (1896) erwähnt. Kronecker hatte schon im 

 Jahre 1853 den fundamentalen Satz aufgestellt, daß die Wurzeln aller 



Die Theorie der algebraischen Zahlkörper. Bericht von D.Hilbert 1897. 



