BERICHT ÜBEK DEN BOLTAI-PEEIS 349 



AitKLSchen Gleichungen im Bereiche der rationalen Zahlen sich durch 

 Einheitswurzeln ausdrücken lassen. Lange Zeil blieb dieser Fundamentale 

 Satz unbewiesen, und erst nach 30 Jahren hatte Für denselben E.Webeb 



unter Heranziehung von transzendenten Hilfsmitteln einen äul.'- 

 .schwierigen Beweis erbracht. Hiebert liefert nun mit Hilfe einer 

 Reihe durch ihn eingeführter Begriffsbildungen und unter Anwendung 

 des Diskriminantensatzes von Minkowski einen einfachen arithmetischen 

 Beweis dieses Satzes, aus dem zugleich ersichtlich wird, auf welche 

 Weise man alle AnELSchen Körper von gegebener Gruppe und l>i-kri- 

 minante aufstellen kann. 



Ich muß des ferneren seines schon früher zitierten Berichtes 

 „Die Theorie der algebraischen Zahlkörper*' gedenken. Es ist dies 

 ein Bericht über die Entwicklungsgeschichte der Theorie der a 

 braischen Zahlkörper, der in Folge seiner klaren Anordnung, der prä- 

 zisen Beweisführung als Musterbild einer Zusammenfassung (reiten 

 kann, hierüber hinaus aber vermöge der Fülle in demselben zuerst 

 veröffentlichter neuer Begriffsbildungen und Methoden als wesentliche 

 Weiterführung der Theorie der algebraischen Zahlkörper zu betrachten 

 ist. Relativkörper, Relativnorm, Relativdiskriminante, Verzweigungs- 

 körper usw. sind alles von Hilbert herrührende Begriffsbilduugen, 

 die hier zuerst im systematischen Zusammenhang entwickelt wurden. 

 Als besonders folgenreich hat sich die von Hilbert hier entwickelte 

 Theorie des Kt/MMERSchen Zablkörpers erwiesen, ferner die Bildung 

 des Begriffs der Normenreste dieses Körpers. Mittels die-.- Begriffs 

 gelingt es, das allgemeine Reziprozitätsgesetz für Potenzreste durch 

 die Formel 



n<&. 



= i 



darzustellen, wo (— — ) eine gewisse Einheitswurzel bedeutet und das 

 ' \ ro / 



Produkt über alle Primideale tu des Körpers zu erstrecken ist. 



In seiner Abhandlung „Über die Theorie der relativ-quadratischen 

 Zahlkörper" hat er die Theorie der quadratischen Reste für den Fall 

 entwickelt, daß der Grundkörper /.■ imaginär und von ungerader K 

 anzahl ist. Als wichtigstes Resultat dieser Untersuchungen kann das 

 Reziprozitätsgesetz in k gelten und jener Satz. . demzufolge in einem 

 relativ- quadratischen Körper Btets die Hälfte aller denkbaren Charak- 

 terensysteme wirklich durch Geschlechter vertreten Bind, und dl 

 wissermaßen als Verallgemeinerung der bekannten Sätze von Gauss 

 gelten kann. 



In seiner wichtigen Abhandlung „Über die Theorie der relativen 

 AßELSchen Körper" wird die Gültigkeit dieser Sätze auf bei 

 Körper Je ausgedehnt. Als grundlegend wichtiges Hilfsmittel der 



