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Untersuchung wird hier zuerst die Begriffsbildung des Klassenkörpers 

 eingeführt. 



Es ist dies jener in hezug auf Je relativ- ABELSche Zahlkörper 

 von der Relativdiskriminante 1 , der alle in bezug auf k unverzweigten 

 Körper als Teilkörper enthält. Kronecker wurde schon im Jahre 1856 

 zu der überraschenden Bemerkung geführt, daß es zu jedem imagi- 

 nären quadratischen Körper einen zu assoziierenden Zahlkörper von. 

 der Eelativdiskriminante 1 gibt, nach dessen Adjunktion die sämtlichen 

 Ideale des Grundkörpers zu wirklichen ganzen algebraischen Zahlen 

 werden. Er bezeichnet es als höchstes, erstrebenswertes Ziel der 

 Zahlentheorie, die Natur dieses zu assoziierenden Zahlkörpers zu er- 

 gründen. Die Hilfsmittel hierzu hat nun Hilbert geschaffen, durch 

 dessen grundlegende Untersuchungen angeregt, es H. Ph. Furtwäng-ler 

 (1904) gelungen ist, den Klassenkörper für einen beliebig vorgelegten 

 Zahlkörper wirklich zu konstruieren. 



Als Meisterwerk und Beleg seines großen Talentes für die Ver- 

 einfachung schwieriger Beweise sei noch einer seiner älteren Arbeiten 

 „Über die Zerlegung der Ideale eines Zahlenkörpers in Primideale" 

 (1894) gedacht, in welcher er den bekannten ÜEDEKiNDSchen Satz 

 unter der Zugrundelegung des GALOisscheii Zahlkörpers aufs licht- 

 vollste und übersichtlichste beweist. Ferner auch seines Beweises für 

 die Transzendenz der Zahlen e und n. Hier hat er den Kern des 

 HERMiTESchen und LiNDEMANNSchen Beweises seines unnötigen Bei- 

 werkes entkleidet, indem er das Nicktversch winden eines Ausdruckes 

 nicht auf schwierige Abschätzungen, sondern auf den Nachweis gründet, 

 daß er eine ganze Zahl vorstellt, welche modulo einer geeigneten Prim- 

 zahl gewiß nicht zur' Null kongruent ist. 



Im Anschluß zu diesen arithmetischen Untersuchungen sei noch 

 einer wichtigen Abhandlung „Über die Irreduziblität ganzer Funk- 

 tionen mit ganzzahliger Koeffizienten" gedacht. In dieser Abhand- 

 lung führt Hilbert den Nachweis des Satzes: Ist eine Funktion 

 F(x, y, . . ., w; t, r, . . . , q) in einem gewissen durch eine alge- 

 braische Zahl bestimmten Rationalitätsbereich irreduzibel, so ist es 

 stets auf unendlich viele Weisen möglich , in dieser Funktion für 

 t, )', ..., g ganze rationale Zahlen einzusetzen, so daß dadurch die 

 Funktion in eine Funktion allein der Veränderlichen xyy, . . . , w 

 übergeht, welche im gegebenen ßationalitätsbereiche irreduzibel ist. 

 Hieraus ergibt sich alsdann der Beweis des bis dahin nur ver- 

 muteten Satzes, daß es unbegrenzt viele Gleichungen wten Grades 

 geben müsse, deren Gruppe im Bereiche der rationalen Zahlen die 

 symmetrische Gr-uppe ist. Das Gleiche gilt auch für die alternierende 

 Gruppe. 



Indem ich nun auf die geometrischen Untersuchungen Hilberts 

 übergehe, habe ich über sein Werk „Grundlagen der Geometrie" (1899, 



