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2. Aufl. 1905) zu berichten. Diese Grundlagen sind eine kritische 

 Untersuchung der Prinzipien der Geometrie, für die er ein einfaches 



und vollständiges System von Axiomen aufstellt und dir wichtigsten 

 Grundtheoreme (den Satz von Desargues und einen Spezialfall des 

 PASCALSchen Satzes) in der Weise ableitet, daß die Tragweite der 

 aus den einzelnen Axiomen zu ziehenden Schlüsse in Evidenz tritt. 

 Er ordnet die Axiome in fünf »Truppen ein und beweist die Wider- 

 spruchslosigkeit derselben, indem er arithmetische Mannigfaltigkeiten 

 konstruiert, die den Axiomen genügen. Schließlich werden die geo- 

 metrischen Elementarkonstruktionen eingehend erörtert und auf Grand 

 tiefliegender arithmetischer Sätze die nutwendigen und hinreichenden 

 Bedingungen dafür entwickelt, daß sich eine vorgelegte Konstruktions- 

 aufgabe allein durch Ziehen von Geraden und Abtragen von Strecken 

 lösen lasse. 



In diesem Zusammenhange sei noch seiner wichtigen Unter- 

 suchung über die Begründung der Geometrie vom Standpunkte der 

 Transformationsgruppen aus gedacht, die durch die größere Allgemein- 

 heit ihrer Voraussetzungen die hierauf bezüglichen Untersuchungen von 

 Sophus Lie überholt. 



Helberts hier genannten Arbeiten, die hinsichtlich ihrer großen 

 Bedeutung schon von Poinoare auf das eingehendste gewürdigt wurden, 

 haben eine reiche Literatur hervorgerufen, gewissermaßen die von 

 Hilbert wiederholt ausgesprochene Oberzeugung bekräftigend, daß die 

 logische Strenge der Untersuchungen stets die Keime fruchtbarer 

 Weiterentwicklung in sich trägt. 



Und nun noch einiges über Hilberts Forschungen auf dem Ge- 

 biete der Funktionentheorie. Ich möchte zuerst seines bewunderungs- 

 würdigen Beweises gedenken, den er für das DlRlCHXETSChe Prinzip 

 geführt hat, welches die Existenz der Lösung des bekannten Randpro- 

 blems der Potentialtheorie aus der als selbstverständlich angesehenen 

 Existenz des Minimums eines Integrals folgert. Dieses Prinzip hatte 

 sich vermöge seiner Einfachheit und mannigfachen Anwendbarkeit auf 

 die Theorie der algebraischen Integrale, sowie auf Probleme der mathe- 

 matischen Physik als eines der wirkungsvollsten Hilfsmittel der mathe- 

 matischen Forschung erwiesen. Nun kam die WEiERSTBASBSChe Kritik, 

 in der an einem sehr einfach gewählten Beispiele die Unzul&Bsigkeit 

 der DiRiCHLETsehen Schlußweise evident dargetan wurde. Dem DntlCH- 

 LETschen Prinzip war hierdurch scheinbar der Lebensnerv abgeschnitten. 

 Nur mit dem Aufwand großer Mühe konnten C. Nbumakn, H. Schwarz 

 und H. Poincare Ersatz für das so leistungsfähige DiniCHLETSohe 

 Prinzip Schäften. Umso höher ist nun Helbbrts Verdienst anzurechnen, 

 das DiRiGHLETSche Prinzip in seiner ursprünglichen Einfachheil mit 

 den einfachsten Mitteln wiederbelebt zu haben. Die BiLBERTSche 

 ebenso lichtvolle als einwurfsfreie Schlußweise zeichnel sich nebst ihrer 



