352 GUSTAV RADOS, BERICHT ÜBER DEN BOLYAI-PRE1S. 



Schlichtheit noch durch den Umstand aus, daß sie nur die Minimums- 

 eigenschaft benützend, von den speziellen Eigenschaften der Potential- 

 funktionen keinen Gebrauch macht, daher auch auf allgemeinere 

 Probleme der mathematischen Physik angewendet werden kann. 



Von großer Bedeutung sind ferner Hilberts „Grundzüge einer 

 allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen" (von 1902 

 ab). Unter Integralgleichungen sind solche Gleichungen zu ver- 

 stehen, in denen eine unbekannte Funktion explizit und überdies 

 unter dem Zeichen eines bestimmten Integrals im Integrandus ent- 

 halten ist. Hilbert hatte sich bald überzeugt, daß der systematische 

 Aufbau der Theorie dieser Gleichungen für die ganze Analysis, ins- 

 besondere für die Theorie der bestimmten Integrale und für die der 

 Entwicklung willkürlicher Funktionen in unendliche Eeihen, für die 

 Theorie der linearen Differentialgleichungen, für die Potentialtheorie 

 und Variationsrechnung von größter Bedeutung ist. 



Er untersucht den Zusammenhang der Eigenschaften von Lösungen 

 solcher Integralgleichungen unter der wesentlichen Voraussetzung, daß 

 die durch ihn als „Kern" bezeichnete Funktion in bezug auf ihre 

 beiden Argumente symmetrisch ist. Hierbei gelangt er zu Entwick- 

 lungen einer willkürlichen Funktion nach sogenannten Eigenfunk- 

 tionen, in denen die bekannten Entwicklungen nach trigonometrischen, 

 BESSELsehen, LAMESchen, STURMSchen und Kugelfunktionen als spezielle 

 Fälle enthalten sind. Es gelingt ihm ferner, die notwendigen und 

 hinreichenden Bedingungen für die Existenz von unendlich vielen 

 Eigenfunktionen aufzustellen. Überaus charakteristisch für Hilberts 

 Art zu schaffen ist es, daß den Grundgedanken seiner Arbeit ein als 

 heuristisches Hilfsmittel oft angewandtes Verfahren liefert, das er mit 

 großem Scharfsinn zu einem beweisenden Prinzip umgestaltet. 



Ich möchte auch noch seiner Untersuchungen auf dem Gebiete 

 der Variationsrechnung gedenken, die für diese Disziplin von der 

 größten Bedeutung zu sein scheinen. Einen Weg verfolgend, den 

 Weierstrass angebahnt hatte, zeigt er, daß dieser zu einer über- 

 raschenden Vereinfachung der Variationsrechnung führt, indem zum 

 Nachweis der notwendigen und hinreichenden Kriterien des Eintretens 

 eines Extremums die Berechnung der zweiten Variation und zum Teil 

 sogar die mühsamen an die erste Variation anknüpfenden Schlüsse 

 vermieden werden können. 



Doch ich breche die Eeihe dieser leider allzu flüchtigen Schil- 

 derung von Hilberts Untersuchungen nun ab. Dieselben lassen in 

 Hilbert einen Mathematiker von den seltensten Qualitäten erkennen, 

 der Strenge mit Vielseitigkeit, logische Schärfe mit großer Erfindungs- 

 kraft, ruhiges Erwägen mit flammender Begeisterung für seine Wissen- 

 schaft in sich vereint. 



