EECHERCHES GENER. SUR LA QUADRAT. DES SURFACES COURBES. 3 



lorsque J. = 5. L'expression »nous parcourons la chaine de Ä 

 vers B« a un sens bien connu. La chaine est simple lorsqu'elle 

 ne passe pas deux fois par le meme point. Nous disons qu'elle 

 appartient ä la longueur d (d>0) lorsque ses cötes sont plus 

 petits que d. 



Considerons une chaine fernaee K. Seit Z) un point du plan 

 qui n'appartient pas ä K. Renfermons K dans un cercle. Con- 

 siderons toutes les chaines qui joignent D avec un point de la 

 circonference. II peut arriver que toutes ces chaines coupent Ä'. 

 Nous disons que la figure, qui est formee par tous les points de 

 cette propriete, est l'aire rcnfermee par K, nous la designons par K. 



Nous disons qu'une figure admette des chaines, lorsque ä 

 chaque couple Ä, B de ses points et ä chaque longueur d((J>0) 

 il existe une chaine qui Joint A et B, qui appartient ä Ö et 

 dont les sommets sont points de la figure. 



Lorsque la figure qui admette des chaines est encore parfaite* 

 nous disons qu'elle est d'un seul tenant. 



IL Soit Ui T",„ une division et soit S une figure formee par 

 quelques-uns des rectangles de f/^F,,^ (les contours des rectangies 

 compris). S est donc parfaite. La condition necessaire et süffisante 

 pour que S soit d'un seul tenant, est visiblement la suivante. 

 Quelques soient les rectangles cc et ß de S on puisse trouver des 

 rectangles fi, y^, • • v r„ de S, tels que cc et y^, y^ et y^, ■ • -, Tn 

 et ß soient voisins, c'est ä dire qu'ils aient un ou deux sommets 

 communs. 



Soit F une figure comprise dans P. Soit Uj V^^^ une suite 

 de divisions. Designons par S^. la figure qui est formee par les 

 rectangles de la r-ieme division de la suite, qui contiennent au 

 moins un point de F. 



La condition necessaire et süffisante, pour que F admette 

 des chaines, est que S^ (r=l,2,. . .) soit d'un seul tenant. 



III. Soit F une figure qui admette des chaines. Soient Ä 

 et B points de F et soit (5 > une longueur. II existe une 

 chaine K, qui Joint A et B, qui appartient ä d, dont les 



* Nous disons qu'une figure est parfaite, lorsqu'elle est fermee — c'est 

 ä dire qu'elle contient ses points limites — et de plus lorsque chacun de 

 ses points est un point limite d'elle. 



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