RECHEECHES GENER. SUR LA QUADRAT. DES SURFACES COURBES. 5 



VII. Soit Ä un point de la froutiere f de tv, et soit uu 

 point de iv. II existe das un voisinage quelconque de A un point 

 H de /", tel qu'il existe une chaine qui Joint fi" et et dont 

 tous les points (excepte H) sont situes dans ic. 



VIIL Soit /■ (la frontiere de w) teile qu'on la puisse decom- 

 poser en deux parties, dont l'une est une chaine simple qui n'a pas 

 aucun point commun avec l'autre partie f que ses deux extremites. 



f est d'uu seul tenant. Nous disons que /" est la frontiere 

 vrai de w. 



Soit w un domaine et soit K une chaine simple, dont les 

 points, exceptes ses deux extremites qui sont points de /', sont 

 situes dans w. Soit Ä un point de «• et qui n'est pas situe sur 

 K. Soit w' la figure, qui est formee par des points tels de w 

 qu'on les peut joindre avec A par des chaines situees dans tv 

 qui ne coupent pas K. Soit (c" la figure qui est formee par les 

 points de ic qui n'appartiemient pas ä w' ou ä K. 



iv et iv" sont des domaines et K appartient ä la frontiere 

 de chacun d'cux. Les frontieres vraies de iv et w" peuvent avoir 

 d'autres points communs que les extremites de K. La reunion de 

 ces deux frontieres est f. On dit que K decompose w en iv' et iv". 



IX. Soit IV un domaine tel qu'on puisse decomposer sa fron- 

 tiere en deux parties K et f, K etant une chaine simple qui n'a 

 que ses deux extremites A et B commun avec f. Soient AA' 

 et B'B les cotes extremes de K. Soit () > 0. On peut construire 

 une chaine simple N, qui dans tv Joint AA' et B'B de maniere 

 que la distance de /" et N est partout plus petite que q. (Bien 

 entendu les extremites de N n'appartiennent pas ä w). 



X. Soit IV un domaine et soit f sa frontiere. Renfermons w 

 et f dans un domaine circulaire L, soit 31 la circonference de L. 

 Designons par v la figure, qui est formee par de tels points de L 

 qu'on les peut joindre par des chaines avec les points de M sans 

 couper f. V montre les proprietes 1° et 2° du No.Y, mais K etant une 

 chaine ferme'e, situee dans v, K appartient ou ä v ou K contient 

 tv et f. 



La frontiere de v est evidemment formee par M et par points 

 de f et ces deux parties sont separees. La partie f^ qui est 

 formee par des points de f est d'un seul tenant. 



