EECHERCHES GENER. SUR LA QUADRAT. DES SURFACES COURBES. 9 



Soit (iv)" la figure, qui est formee par toutes les chaines — 

 eil omettant leurs points de departs — qui issues des points de \ 

 sont d'ailleurs situees dans (tv) et qui ne coupent pas la fron- 

 tiere de w^. 



Adjoignons ä u\ toutes les chaines — en omettant leurs points 

 de departs — qui issues des points de |i, sont d'ailleurs situees 

 dans (tv), et qui ne coupent pas la frontiere de {w)". Soit (w)' 

 la figure ainsi obtenue. 



On voit, que (tv)' et («?)" n'ont pas aucun point commun. De 

 plus: leurs frontieres sont formees par des points de /" et de (tv) 

 et les points de ees frontieres qui sont situes dans (tv) sont des 

 points communs d'elles. Nous allons voir que (w)' et (w)" seront 

 les [liJ; %,%], [Ua; ^i; %]• 



b) (w)' est un domaine. 



Par sa construction il satisfait ä 1° du No. V. 



Nous allons montrer qu'il satisfait ä 2° du No. V. 



Soient C et D points de (w)'. Par la construction de (tv)', 

 ils existent des chaines simples K^, K^, qui, situees d'ailleurs dans 

 (w)', joignent C et D avec certains points A et B de |i . Lorsque 

 Äj et K2 se coupent ä 2° du No. V est satisfait. Lorsqu'ils ne 

 se coupent pas, joignons C et D par une chaine simple A3, 

 situee dans (w), teile qu'elle ne coupe pas K^ et K^ que dans C 

 et D. Soit K la reunion de K^, K^, K^. 



Par K {iv) sera decompose eu deus domaines (VIII), dont 

 Tun V sera tel, que les points de sa frontiere vrai qui sont en 

 connexion avec lui sont points de |i (X). 



Soit Q un nombre positif, tel que pour deux points E et F 

 de P, tels que EF < q d'ailleurs quelconques 

 \^{E)-<p{F)\<l-l,. 



Soient AA', B'B les cötes extremes de K. D'apres IX 011 

 peut construire une chaine K', qui issue d'un point de AA' ya 

 dans V jusqu'ä un point de B' B et que la distauce de K' de la 

 frontiere vrai de v est partout plus petite que q. On a doiic, 

 pour les points de K', gp < |. AA' et B'B sont dans (tf)' (A et 

 B exclus), donc K' est aussi dans (?r)'. Ainsi K^ et K.^ sont 

 reunis par K' dans (ivY. Donc C et D sont reunis dans (;r)'. 



