10 ZOARD DE GEÖCZE. 



Mais («')' satisfait aussi ä 3° du No. V. Car soit K uue 

 chaine fermee, situee dans (iv)'. Si K n'appartieut pas ä (w)', il 

 .oontient au moins un point de la frontiere de (iv)'. Ainsi K doit 

 contenir points de (iv)" (voir a)), mais cela est d'apres la constructiou 

 de (n')" (voir a)) impossible. En effet, une chaine quelconque, issue 

 d'un point de K et allant jusqu'ä ^-2, coupe K et oontient ainsi au 

 moins un point de (/r)'. 



c) (iv)" est un domaine. On voit que («')" satisfait ä P 

 du No. V. On de'montre comme pour («?)' qu'il satisfait ä 2° du 

 No. Y. Mais il satisfait aussi ä 3° du No. V Soit K une chaine 

 fermee situee dans {w)". Si K contiendrait d'autres points que 

 ceux de {w)" , il contiendrait au moins un point A de la frontiere 

 de (w)". K est situe dans (w), donc A est sur la frontiere de {w)'. 

 La frontiere de (w)' coupe donc K, au moins dans un point B, 

 car A est dans K et |i (qui appartient ä cette frontiere) est ä 

 l'exterieur de K (voir IV.). Mais cela est impossible, car un voisi- 

 nage quelconque de B contiendrait points de {^vy, tandis que B 

 comme point de K est un point de {tv)", et ainsi un voisinage 

 assez petit de B ne contient que points de (m;)". 



d) (w)' est un domaine simple. 



Renfermons (iv) dans un cercle, et soit ^ la figure qui est 

 formee par les points du cercle, qu'on peut joindre avec sa 

 circonference, sans couper la frontiere f de (w). (w) etant un 

 domaine simple, chaque point de f est tel, qu'un voisinage quel- 

 conque de lui contient points de ja (voir X). (tv)' est situe dans 

 le cercle. Soit A un point de sa frontiere. Lorsque A est un 

 point de /", dans un voisinage quelconque de A il existe des points 

 ^ de (LI. Si .4 n'est pas point de /', il est situe dans (w), et 

 dans un voisinage quelconque de A il existe des points i^ de (w)". 



Ig contient des points qui ne sont pas points limites pour 

 ^1 ou ^2 ("voir X). Soit G un tel point de ^o . 



II est evident que la frontiere de (w)' ne peut contenir que 

 points de |^, |', ^j, Tj^ et les points limites de ces Agares. De 

 plus; I2 est separee de |^ et de |'. 



Donc un voisinage assez petit de C ne contient aucun point 

 de la frontiere de (w)'. Soit D un point de ^ situe dans ce 

 voisinage. Donc une chaine qui issue de B va dans (tv)" jusqu'ä 



