EECHERCHES GENER. SUR LA QUADRAT. DES SUKFACES CÜURBES. 11 



C et CD formeat une chaine, qui Joint B avec ^ sans couper 

 la frontiere de (wj. 



Ainsi dans cliaque cas il existe un voisinage aussi petit que 

 l'on veut de Ä tel qu'il contient des points (B) tels, qu'on les 

 peut joindre avec la circonference sans couper la frontiere de 

 («■)'. Donc (voir X.) (wf est un domaine simple. 



e) On demontre de la meme maniere que (iv)" est un domaine 

 simple. 



f) Proprietes de la frontiere de {w)'. 



Designons par I' Tensemble des points qui sont en connexion 

 avec (tv)'. II est evident que I' ne contient que points de I et 

 de (w). On prouve facilement que /' ne contient aucun point de fg. 



I' contient ti (voir a)). Joignons deux points quelconques 

 de 11 par une ciiaine simple qui est d'ailleurs situee dans (u')'. 

 Par la chaine (tv)' sera decompose en deux domaines, dont Tun 

 est tel, que les points de sa frontiere vrai qui sont en connexion 

 avec lui sont points de |i, — car la cliaine est aussi d'ailleurs 

 dans (tv) (voir X). 



Je dis que I' contient points de t^^ (Tj^). 



Soit Ä un point de §i, B un point de fg. Joignons -les 

 par une cliaine simple K qui est d'ailleurs situee dans (iv). Par 

 K (w) sera decompose en deux dorn aines, dont Tun A est tel, que 

 de T]j^ et rj^ seulement les points de 1]^ (jj^) sont en connexion 

 avec lui (voir X). 



Soit 9 > et tel que pour deux points C et D de P tels que 



CD < p on ait & ^ 



\cpiC)-<p(D) <^-^-i^. 



Soient ÄÄ' et B'B les cotes extremes de K. On peut (voir IX.) 

 construire une chaine simple K' qui, situee d'ailleurs dans X, Joint 

 un point Ä" de ÄÄ' avec un point B" de B'B de maniere que 

 la distance de K' de la frontiere vrai de l est partout < q . 



Parcourons ÄÄ", K', B'B de Ä vers B. (p varie continument 

 de rp{Ä) = 1^ jusqu'ä (p{B) = ^2- Soit C le premier point pour 

 lequel (piß) = - f - • Soit D un point de la fi-ontiere vrai de k 



pour lequel CD < q . Soit E un point tel de CD que EC ne 

 contient que E de la frontiere vrai de l. 



