EECHERCHES GENER. SUR LA. QUADRAT. DES SURPACES COURBES. 13 



On prouve facilement d'apres f) et X que les figures 1", 2°, 

 3°, 4° peuvent etre les cotes cc, ß, y, d de (tv)', en remarquant que 

 li et I', T]^ et 7}^ sont separes. 



h) On prouve de meme que Fensemble II' des points qui 

 sont en connexion avec (tv)" contient 1° points de (iv) ces points 

 sont points de |', 2° Ig, 3° points de 7]^, 4° points de rj^. En 

 repartissant les points de 11' en ces quatre figures on prouve 

 que ces figures peuvent etre les cotes a, ß, y, d de (w)". 



Donc (w)' est un [li; ^; ■>?i, %] et (tv)" est un [g, Ig? ^i? ^il- 



Soient Ä, B, C, JD points de |i, I2, %, ^2? ^'? ^\ ^'> ^' 

 points de a, ß, y, d de (w)', A", B", C", D" points de a, ß, y, d 

 de (w)". Le sens du parcours etant le meme pour les cercles 

 de ces trois domaines, les ordres sont Ä, C, B, D-^ A', C, B', D'; 

 A", C", B", D" ou A,I),B,C', . . .; en changeant le sens du parcours. 



Corollaire I. II existe dans (w) [Ij, |; rj^^ tj^ [I^, |; rj, %]> 

 [I, Ig! Vi> v]) [^7 ^2 5 V> %] ^ß maniere que ces quatre domaines 

 deux ä deux n'ont pas aucun point commun. 



Soient 



b(0)> 6(1)7 • • V fe(i)J • • -7 te(/)7 V(0)> V{1)} ■ • -7 V{j)} • ■ ■> V{m) 



des valeurs telles que 



§1 "^ fe(0) "^ ^(1) <C • • • <C ?(i) <C • • • < b(j) = §2 7 

 ^1 = '^(0) < ^(1) < • • • < %) < '< %n) = V2 ■ 



II existe dans (tv) des domaines a quatre cotes 



[^(i)7 ^(.-+1); %)7 %+i)]^ {i = 0,...,l-l,j = 0,...,m- 1\ 



de maniere que ces domaines deux ä deux n'ont pas aucun point 



commun. 



Corollaire 11. D'apres X la frontiere de [|^, |; 7;^, 7;] contient 



au moins un point qui appartient ä |' et ä 7/. Donc (iv) contient 



un point C tel que 



Xn. Soit X^Y^^^ une division de P^, nous avons designe (loc. 

 cit. Chap. II) ses rectangles par (x^, x._^^'^ y^, yj + i)- Supposons que 

 pour une couple (^i,j) il existe au moins un [X;, x^_^_^] Vj^yj+i]? 

 designons-le par [i, j], 



II est evident que pour un (i, j) il peut exister une infinite 

 meme non denombrable des [i, j]. 



