14 ZOÄRD DE GEÖCZE. 



Soient [«, j]', [i j]", ■ . ., des domaines [/, j\ tele qu'ils n'oiit 

 pas deux ä deux aucun point commun. 



Quelque soit le choix de tels domaines leur nombre est un 

 nombre qxn est plus petit qu'un certain nombre fini qui ne 

 depende que de X;Z,„. 



D'apres le Cor. II du No. XI dans cbacun de ces domaines 

 il existe au moins un point C tel que 



"PiP)- 2 '• ^(^)= — '2 



Soit d un nombre positif plus petit que chaque 



-<«-5-^ yj^,_ (.•_o,..„z-i,i = o,...,«-i). 



rp et ^' sont continues, donc il existe un ^ > de maniere que 

 pour deux points J. et 5 de F, tels que AB <iQ d'ailleurs quel- 



conques, 



\cp{Ä)-q>{B)\<d, \^(Ä)-ip{B)\<d. 



Le cercle de centre C et de rayon q est donc situe dans le 

 domaine. Donc la mesure Interieure de ce domaine (dans le sens 

 de M. Jordan) est au moins q^ ■ tc. Donc le nombre des domaines 

 [i, j]', . . ., est au plus l'aire de P c'est ä dire U ■ v divisee par 

 Q^ • 7t, c'est ä dire plus petite qu'un nombre fini qui ne depend 

 que de X^r,„. 



xm. Soit 



un arrangement des l • m couples (i, j). Designons-le par J. 



Considerons les domaines {jx, j-^- Lorsqu'ils n'existent pas, 

 posons 'yi'i^j^= 0- Lorsqu'il existe au moins un [i^, jj, cboisissons 

 un nombre quelconque '>\^j^= 0, 1, 2, . . ., de ces domaines tels 

 que deux a deux ils n'aient pas aucun point commun. Lorsque 

 %j^>0, designons par Al^j^{]i=l,. . .fOii^j^) les domaines cboisis. 



Considerons les domaines [i^, ig]- Lorsqu'ils n'existent pas ou 

 dans le cas oü ils existent et cbacun d'eux a des points communs 

 avec Tun au moins des Ä\j^, posons nuj„= 0. Supposons qu'ils 

 existent de tels entre eux, qu'ils n'ont pas avec les ^f,,/i aucun 

 point commun. 



Cboisissons un nombre quelconque n^^j^= 0, 1, . . ., de ces 



