RECHERCHES GENER. SUR LA QUADRAT. DES SURFACES COURBES. 15 



derniers domaines, mais tels que deux ä deux ils n'aient pas aucun 

 point commun. Lorsque n^j^^O nous designons par Äi^j^ les 

 domaines choisis. 



Considerons les [ig, jg]. Lorsqu'ils n'existent pas o\\ lorsqu'ils 

 existent mais chacun d'eux a des points communs avec la figure 

 qui est formee par la reuniou des Äi^j^, Ä^^j„ nous posons 

 n, ,. = 0. 



'3 1 Ja 



Dans l'autre cas (c'est ä dire lorsqu'il existe au moins un 

 [ig, jg] qui est ä l'exterieur des Ä^^j^, Ä'^jJ, on choisit de ces 

 domaines quelques-uns en nombre ^i^j^=0, 1, 2, ..., tels que 

 deux ä deux ils n'ont pas des points communs. Lorsque n. j >0 

 on les designe par ^l,,;^ . Et ainsi de suite. 



Quelque soit J et quelque soient ^f^,^-, , -^^j«, ■ • •■> 1®^ 

 >*,■ ,• » ^i ,,..., sont des nombres limites. (Voir XII.) 



Considerons la somme 



La valeur de p depende evidemment de J et du mode de choix 

 des A^j . Mais il est evident que p ne peut avoir qu'un nombre 

 limite de valeurs. 



Donc il existe un arrangement J et un mode de clioix des 

 A'ij de maniere que la valeur correspondante de p n'est pas plus 

 petite que tous les valeurs possibles de p* 



Pour exprimer que J et les Ä^j sont choisis de maniere que 

 j) ait la plus grande valeur possible, nous ecrivons JV,- ■ au lieu 

 de n.J. 



XIV. XYm,-a,, existe. 



Soient Xz^Ym, et Xq^Yr^ des suites quelconques de divisions, 

 il suffit evidemment demontrer que lorsque 



-"^^0. ^M^^ij ■ «,, = Ä', X,^ Yn^JSr^j . a,j = Ä" 



sont determines ils sont aussi egaux. 



Supposons que Ä' > Ä". Nous allons montrer que pour un 

 d > donne ä l'avance et pour un r cboisi ä volonte il existe 

 un v' de maniere que lorsque v > y' 



U) Xl^ YMr N,j ■ a,,j < X^, Yn^ N,j ■ a^j + d . 



* On voit d'ailleurs qu'on obtient toutes les valeurs de jj pour un/ fixe. 



