EECHEECHES GENER. SUR LA QUADRAT. DES SURFACES COURBES. 19 



rj^—^a), de plus eile ne peut se reduire par une deformation 

 continue ä un point, sans que sa projection ne balayerait pas le 

 rectangle. 



c) Designons par zJj-^\ ^p les polyedres inscrits dans les 

 surfaces t =■ (p,{ii, v), t = ■^X^*? '^) ^1^1 oorrespondent au polyedre 

 ^iP) qui est inscrit dans f = x^u, v).* 



En prenant s assez grand la projection orthogonale du contour 

 de z//^) sur P sera ä l'exterieur de G et G (loc. cit.). Soit 

 G}^^iG}^\G}'^) la Partie de^^}'\zJ}'\ J}')) dont la projection 

 orthogonale sur P est G et G. 



Lorsque 5 est assez grand, la partie de G}^\GJ^^\ G^^'^^) qui 

 se projette sur G, sera comprise dans y{ci, ß) (loc. cit.). 



Le contour de ^ = %(», v) peut par une deformation continue 

 coi'ncider avec le contour de ^}^\ de maniere que les points 

 pendant le mouvement ne s'eloignent jamais plus loin qu'une 

 quantite aussi petite que Ton veut du contour originelle de 

 t = %(Uy v) des que s est assez grand (loc. cit.). De nieme pour 

 <p et z/^(^) puis pour ^ et ^J-^^ De plus la ligne polygonale qui 

 est formee par les AxAx^^ (Ä'^Ä^^^ , A'^A^_^_^) est simplement fermee. 



Donc ^J-^^(zjy\ ^/'O peut se mouvoir continument de maniere 

 que GJ'^\G}'^\ GJ^^^) reste invariable, et que la position finale de 

 ^}^\/l}^\ ^/^^) sera teile, que son contour sera forme par les 

 AfAr^,{Ä^f,^,IfAi^J, et que la partie Mf^{M}'\ 31/')) de 

 ^}^\^P, ^P) qui est ä l'exterieur de G}^\G/\ G^) sera situee 

 dans y(a, ß). 



Soit z// le polyedre qui corresponde ä ces positions finales 

 des z/j^^)(z//^), ^/^O ^^^^ l'espace x, «/, 3. A cause des proprietes de 

 77 (voir b)) qui est le contour de z//, la projection de z// sur le 

 plan xy remplit le rectangle (|^ + 4(u,, |o — 4,u; r]^-^4:^, 7;, — 4^u). 



Mais comme Mp{M}^\ 31}^^) est situe dans y(o:, ß) les points 

 de z/^' qui se projettent dans le rectangle sont points de G^. 



Donc Faire GJ de G^ est au moins egale ä 



(I2 - ^1 - 8^) • (% - ^1 - 8a) 

 et ainsi 



Gj>ii,-^,)-{rj,-r},)-e. 



(f , ip,, X sont les /"<^\ f^'^\ f^^^ du Chap. I du travaü mentionne. 



