20 ZOÄRD DE GEÖCZE. 



XVI. L'aire T de R est au moiiis egale u A. 



Soit Xi X,„ une suite de divisions. Soit ö,. > 0, lim d,. = 0. 



Soit f,. >0 et 



Considerons les Äij de la r-ieme division. En prenant s 

 assez graud ä cliaque A'lj corresponde (voir XV) une partie de 

 zig, dont l'aire est plus grande que a^^ — f^- Et lorsque le triple 

 i, j, Ti varie les parties correspondantes aux Äj^j de z/^. n'out pas 

 deux ä deux aucun point commun. Donc l'aire z/,if de z/, est 

 plus grande que 



\ ^m,. ^-.i ■ («.,,■ - ^r) > \ Y.^,. N,j ■ «,, - d,. . 



A la liniite r = oo on peut prendre s = <x>, donc 



lim zJJ ^ A 



Ä' = 00 



et ainsi 



Soieut B et r les quantites qui sont les memes pour les 

 plans xz et ys que A Test pour le plan xy. Posons 



5 = A+ B + r. 



II est evident que 5* < + oo est une condition necessaire pour 

 que l'aire de B soit finie, en supposant bien entendu que S existe. 



Je vais communiquer deux theoremes. 



1° Soient gp, tjj, % telles que pour deux points A et B 

 de P quelconques mais differents 



l^(^) - cpiB)\ + \t(A) - 4^{B)\ + \xiA) - x{S)\> 0.* 



Dans ce cas 8 existe pour cliaque rectangle de P, et 

 l'aire d'une teile surface n'est jamais egale ä zero. 



2° Soit (p teile que ses sections t = const. se reduisent 

 ä des lignes droites, paralleles ä Taxe des u, de maniere 

 que la mesure interieure d'une teile section soit toujours 

 egale ä zero. ifj ei % sont generales. Lorsque A et B 



'•" La surface B est toujours ui.o Image univoque de P, dans le cas du 

 texte eile est une image biunivoque de P. 



