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(w) Joint D et F coupe cliaque xP dont le x^. est compris entre 

 Xj et Xj^. — Ce fait s'ensuit facilement de la construction des x^^. 

 Supposons que 



\cpW(A)-<p^'^iB)\ = d>0. 



La fonction q) est continue dans P (P etant le rectangle 

 dans lequel varie le point uv). II existe donc un ^ > de 

 maniere que G et H etant des points de P tels que GH <. Q 

 d'ailleurs quelconques on ait 



[g,{G)-g^{H)\<^. 

 Choisissons dans v deux points A' et B' de maniere que 



AÄ' et B'B soient comprises dans (w) et que 



AA<Q, B'B<Q. 



A est un point de Q. On peut donc choisir un point A" qui 

 est situe sur une x^^ de maniere que Ä' A est situe dans {w) et 

 que Ä'A < ^ . 



De meme: on peut choisir un point B" qui est situe sur 

 un x^^ de maniere que BB" est situee dans {w) et que BB"<,q. 



On a donc 



Joignons Ä et P' par une chaiiie K qui est situee dans v. 

 La chaine K' qui est la reunion des A"A, AA', K, B'B, BB" 

 coupe d'apres le lemme cliaque x^^ dont le x^ est tel que 



X,— 



^ 8 



Mais on a 



cpiÄ")==^x,, <p{B") = x, 



et la Variation de g) sur chacune des distances A"A, AA', B'B, 



d 



BB" est plus petite que — • Donc aucun point commun de K' 



et x^ ne peut etre situe sur aucune des distances A'A, AA', 

 B'B, BB". Ainsi K couperait x^, mais cela est impossible car 

 K est dans v. 



On a donc 



g)W(^) = 9)W(P). 



