EECHERCHES GENER. SUR LA QUADRAT. DES SURFACES COURBES. 135 



Nous posons pour les points C de v 



cpW (C) = (pW (A) = (pW (B) = const. 

 en remarquant que sur la partie de la froutiere de v qui est situee 

 dans (w) on a 



q)W = (p = const. 



c) Definition de gp^^) pour les points de I. 

 I est forme (voir XI) par ^^, \^, rj^, rj^. 

 Pour les points de ^^, (Ig) nous posons 



Nous allons definir (p^^'> pour les points de T]^. Soit C un 

 point de T]^. Soit £ > 0. 



L'ensemble (E) etant partout dense dans (1^, Ig) on peut 

 evidemment choisir des points de (^E) 



4'^ < =^L'' < • • • < 4"^ < • • • < <"-'^ (w = 3, 4, . . ., 



de maniere qu'en posant 



on ait 



«^^^-«-^|<^, (^ = 3..4,..., /^ = l,...»^-l). 

 Considerons les domaines 



[* ^f ; Vi, V2], ■ ■ ■ K'\ 4'-*-'^; %, V2I • ■ ■ W:-'\ ^^r^; Vu %]• 



On conclut de XI que C est ou en connexion avec Fun et 

 avec Tun seul de ces domaines ou il n'est pas en connexion ayec 

 aucun de ces domaines. Dans, ce dernier cas on conclut de XI 

 que C sera en connexion avec l'un et avec l'un seul des domaines 



K^^ 4'^; %, %], K^ 4*^; vi, %], l^f, 4'^; %, %], ■ ■ ■ 



Donc il existe pour chaque w = 3, 4, . . ., un doraaine 



de maniere que C est en connexion avec lui, Xj et x^ etant des 

 Clements tels de (E) que 



Xj < X, , X, -X. < 2 • ^- ~l' " ^ "• 



On a donc 



lim Xi = lim iP. in = oo) . 



