EECHERCHES GENEE. SUR LA QUADRAT. DES SURFACES COURBES. 137 



On aura donc pour les points D de ce voisinage 



e) Soit C un point de I. 



Soit K une chaine qui issue d'un point de (tv) va dans (w) 

 jusqu'ä C. La valeur de g)(^) sur la chaine varie continument car 

 ^(^^ est continue dans (iv). Mais je dis que: la limite de ces 

 valeurs pour le point C existe et eile est egale ä cp'-^^^C). 



Considerons les [Xj , Xf. ; iq^ , %] de c). K est fixe. 



On peut donc choisir pour chaque w ^ 3 und point D^ de K, 

 de maniere que Z)„ et la partie JK"^ de K qui est comprise entre 

 B^ et G soient comprises dans [x^ ,Xy. ; i^^, iq^. De plus on peut 

 choisir les J)„ que maniere de K^ contienne -K'^^.i, (w = 3, 4, . . .). 



D'apres la construction de 9)^^) on a pour les points de 

 \Xj , Xf. ]ri^, 7^2] et pour les points qui sont en connexion avec lui 



qp^^) > X- , qp(^) ^ Xi. , 

 (voir le lemme 1" du No. XVIIl). 



Soit D^") un point de K^. On aura donc 



Mais (voir c)) 



lim x^ = lim x, (n = oo) . 



«« •'71 ^ ^ 



On aura donc 



ce que demontre la proposition. 



— . Nous avons donc defini (pour les points de (w) et de I) 

 une fonction g)^^^(u,v). A cette fonction corresponde une figure 

 t = (pi^) (u, v), dans l'espace u, v, t. 



XVIIL Soit I une valeur comprise dans (^^, i,^). De- 

 signons par |' la projection orthogonale de la section 

 t = ^ de t = (p''^^ sur le plan uv. 



Nous allons demontrer que |' admette des chaines. 



Lemmes. 



l*'. Soit Xj un Clement de (E) (voir XVII). On a pour les 

 points de [1^, xy, r]^, rj^] et pour les points qui sont en connexion 

 avec lui 



