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De meme pour les points de [Xj, ^^- r]^, r]^] et pour les points 

 qui sont en connexion avec lui 



cpi')^Xj, 9)W Gla- 

 ces faits s'ensuivent facilenieut de la construction de g)^^^. Xj et 

 Xj^ > Xj etant des elements de (E), on a donc pour les points 

 de [Xj, Xj.-, %, rJ2~\ et pour les points qui sont en connexion avec lui 



2°. Soit K une chaine fermee et situee dans (w). 



D'apres d) de XVII q)^^^ est Continus sur K. Soient m et Jf 

 le minimum respectivement le maximum de (p^^^ sur K. Soient Xj 

 et Xj^ des elements tels de (E) que Xj < m, x^. > M. D'apres 1° K 

 est comprise dans [1^, 1^; rj^, rj^] ^t dans [Xj, ^^'tVd %]• ^^ meme 

 pour K. 



3°, Soit K une chaine simple qui etant situee d'ailleurs dans 

 (w) Joint deux points de I dont aucun n'appartient pas ä fg. 

 Soit M le maximum de gp(^) sur K et soit x^ un element de (E) 

 tel que M <,Xj.. 



Par K (w) sera decompose en deux domaines, dont Tun sera 

 tel (voir XI) que l'ensemble des points qui sont en connexion 

 avec lui ne contient aucun point de Ig- ^^ domaine sera compris 

 dans [lit^k'-iVifVi]- — ^^ conclut ce fait facilement de 1°. 



a) Construction de w'^^^ 



Soit «f(') la figure qui est formee par des points tels de (iv) 

 qu'on les peut joindre avec \ (par des chaines situees d'ailleurs 

 dans {w)) sans couper |'. 



Je dis que w'^^^ est un domaine. 



En effet d'apres sa construction eUe satisfait ä 1" du No. V. 

 On demontre comme dans XI b) dans un cas analogue qu'eUe 

 satisfait ä 2^ du Nb. V. 



Mais eile satisfait aussi ä 3° du No. V. 



Soit K une cliaine fermee et situee dans w^'^\ On a pour 

 ses points cp^^'^ < |, de plus la limite superieure de qo^^) sur K est 

 plus petit que |, car dans le cas contraire il existerait sur K au 

 moins un point de |'. On peut donc choisir un element x^. de 

 (E) tel que x^<Cl et que sur K cp^^^ < X/^. 



D'apres le lemme 2° K est situee dans [|j_, X/^Wi} %]• 



