RECHERCHES GENER. SUR LA QUADRAT. DES SURFACES COÜRBES. 139 



Mais d'apres le lemme 1° et d'apres la construction de w^^^ 

 L^ij ^k'i Vi}V2l ®^ ainsi aussi K appartient ä w^^K Donc w^^^ est 

 un domaine. 



b) Le domaine w'^'^^ est en general non simple (voir X); soit f 

 sa frontiere. Une chaine qui issue d'un point de w^^^ va jusqu'ä 

 un point qui n'appartient pas ä w^^^ coupe /", soit C son premier 

 point sur /'. 



Nous disons que C est adjoint ä w^^\ 



Soit II Tensemble de tous les C. On prouve facilement que 

 dans un voisinage quelconque d'un point quelconque de f il existe 

 des points de II. La derivee de II est donc f et II comme f 

 (voir V) admette des chaines. 



Soit K une chaine simple qui etant situee d'ailleurs dans tv^^^ 

 Joint deux points J. et jB de II. Par K tv'^^^ sera decompose en 

 deux domaines a et ß. 



Soit ir la figure qui est formee par les points qui sont 

 situes sur la frontiere vraie de a et qui sont adjoints a a. 



Soit //" la figure analogue pour ß. 



On prouve par des exemples que II' et II" peuvent avoir 

 des points communs. La reunion de 11', II" A ei B est II. 



Soit C un point de //', D un point de //" et soit E un 

 point de K situe dans w'^^\ Joignons C et E par une chaine 

 simple qui est d'ailleurs situee dans a, et joignons D et E par 

 une chaine simple qui est d'ailleurs situee dans ß. 



La reunion K' de ces deux chaines decompose w^^'> en deux 

 domaines, dont Tun y contient la partie de K qui va de Ä 

 jusqu'ä E, l'autre d contient la partie de K qui va de E jusqu'ä B. 

 A est adjoint k y, B est adjoint ad.* 



Je dis que II contient 1^, points de T]^ et de rj et 

 points de |'. 



D'apres la construction de w^^' II contient ^^, il contient 

 aussi points de |'. Specialement les points de II qui sont situes 

 dans {tv) sont points de |'. 



* On voit que ces considerations sont valables ä un domaine quel- 

 conque. Nous remarquons que W et 11" dependent de A, B et aussi de K. 

 De plus: il peut arriver que A est aussi adjoint ä <5' et B ä y. 



