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On prouve comme dans XI b) dans un cas analogue, que II 

 contient une infinite de points de % et de %, qui ne sont pas 

 des points limites pour \ et |'. 



Je dis que lorsque A ei B sont points de |', l'une 

 des figures 11', 11" ne contient que points de |' quelque 

 soit K. 



Supposons que 11' contienne un point C et que 11 " con- 

 tienne un point D qui ne sont pas points de |'. C et D appar- 

 tiennent donc ä la figure ^i + % + % (reunion de 1^, % et 7/9). 



Ciioisissons E et construisons K'. K' decompose {w) en deux 

 domaines (C et D sont evidemment en connexion avec {w)), dont 

 Tun E sera tel qu'il ne contient aucun point de ^g parmi les 

 points qui sont en connexion avec lui (voir X). On prouve faci- 

 lement que l'un des domaines y ei d sera compris dans 8. Soit 

 y ce domaine. A est donc ou un point de £ ou il est en con- 

 nexion avec £ (dans ce cas il est situe sur la frontiere vraie de e). 



Mais K' d'apres sa construction ne contient aucun point 

 de I'. Donc (voir le lemme 3°) pour les points de s et pour les 

 points qui sont en connexion avec lui 9?^^^ < |. On a donc 

 ^^(JL) < I, ce qui est contraire ä la hypothese. 



Donc l'une des figures II', II" ne contient que points de |' 

 quelque soit K. 



c) Soit ^ > 0. Soient a ei ß points de la frontiere de w'^^^ 

 et situes dans (w). Je dis qu'il existe une chaine qui Joint a et /3, 

 dont les cotes sont plus petits que 8 et dont les sommets sont 

 points de |' situes sur la frontiere de m;(^\ 



Soit A un point de II situe dans (w) et tel que J.« < d, 

 et soit B un point de II situe dans (w) et tel que Bß < d 

 (voir b)). 



D'apres b) pour J. et 5 il existe une teile cbaine dont 

 l'existence pour a ei ß est ä demontrer. 



La reunion die aA de cette cbaine et de Bß sera une chaine 

 qui satisfait ä l'enonce. 



d) Parties de |'. 



Soit *f(^^ la figure qui est formee par des points de (w) tels 

 qu'on les peut joindre par des cbaines situees d'ailleurs dans {w) 

 avec §2 Sans couper |'. ^ 



