RECHERCHES GENER. SUR LA QUADRAT. DES SURFACES COÜRBES. 141 



Pour w'^^'^ on a des relations analogues ä Celles qui ont ete 

 etablies pour w'^^K 



Je dis que les points de (tv) qui ne sont pas points 

 de w(^) + w'^^^ appartiennent ä ^'. 



Soit Ä un tel point, on ne le peut donc joindre avec |^ ou 

 avec I2 (p^r ^^^ chaines situees d'ailleurs dans (w)) sans couper ^'. 



Supposons que cp^^^ (Ä) < |. D'apres le lemme 1° A est donc 

 compris dans un [li, a^^*, "»Ji, %] tel que cp^^'> (Ä) <. x^. <^ i,. 



D'apres le lemme 1° ce domaine ne contient aucun point de |'. 

 On peut donc construire dans ce domaine une chaine qui joigne 

 A avec ^j. Cette chaine ne couperait pas h,\ et c'est contraire 

 ä la hypothese. Donc ^^^^ (A) < | est impossible et on demontre 

 d'une maniere analogue que (p'^'^^ (A) > ^ est aussi impossible. On a 

 donc (f^^^A) = I c'est ä dire que A appartient a |'. 



^' contient necessairement points de (iv), eile peut aussi con- 

 tenir points de I. 



Nous repartissons les points de |' en quatre figures 1", 2°, 3°, 4P. 

 1°, 2°, 3" ne contiendront que les points de ^' qui sont situes 

 dans (w). 



P. sera formee par les points de la frontiere de w^^'^ (situes 

 dans (w)). Cette figure existe necessairement. 



2°. sera formee par les points de la frontiere de w^^'> (situes 

 dans (w)). Cette figure existe necessairement. 1" et 2'' peuvent 

 avoir des points communs. 



3°. sera formee par les points de |' (situes dans (tv)) qui 

 H'appartiennent pas ä la figure 1^ + 2°. Cette figure n'existe pas 

 necessairement, mais eile peut exister (voir X) meme dans le cas 

 oü 1° et 2° coincident. 



On voit que la figure P + 2** + 3'' contient tous les points 

 de I' situes dans (w). 



A^. sera formee par les points de |' qui sont points de I. 

 Cette figure n'existe pas necessairement. 



e) Nous allons maintenant montrer que |' admette 

 des chaines. 



Convenons de dire qu'une figure a qui est comprise dans 

 une figure ß, admette des chaines dans ß, lorsque A et B etant 

 deux points quelconques de a il existe ä chaque d > une chaine 



