142 ZOÄRD DE GEÖCZE. 



qui Joint Ä et B qui appartient ä d (voir I) et dont les sommets 

 sont points de ß. 



Nous supposons que les figures 3" et 4" existent, on verra 

 facilement les modifications causees par le cas contraire. On a 

 vu dans c) que 1° admette des chaines dans |'. De meme pour 2°, 



Soit A un point de 3°. Soit v la figure qui est formee par 

 des points tels de (w) qu'on les peut joindre (par des chaines 

 situees dans (w)) avec A, sans couper 1" + 2*^. On prouve faci- 

 lement que V est un domaine simple et que sa frontiere contient 

 une infinite des points de 1" + 2°. 



Donc l'une au moins des figures V -\- v, 2'^ -{- v admette des 

 chaines dans |'. 



Construisons une chaine qui etant situee dans (w) Joint un 

 point de w^^^ avec un point de tv^^l Parcourons-la de tv^^^ vers w(% 

 soit K sa partie qui est comprise entre son dernier point sur V 

 et entre son premier point sur 2*^.* K appartient evidemment 

 (voir d) ä |' et on voit que 1® + 2° + Ä" admette des chaines 

 dans r. Donc P + 2» + ^ + (1" + v) ou 1"+ 2° + ir+ (2° + v) 

 admette des chaines des |'. 3° est formee par certaines v, donc 

 10 _j_ 20 _|_ 30 admette des chaines dans |'. 



Soit Ä un point de 4P. Ou bien un voisinage quelconque 

 de Ä contient points de 1° + 2^ + 3*^ et il est evident que dans 

 ce cas 1° + 2^ + 3° + -4 admette des chaines dans |', ou il existe 

 pour A un voisinage de maniere que ce voisinage ne contient 

 aucun point de 1« + 2^ + 3^. 



Dans ce cas il est evident qu'on peut joindre A ou av§c 

 Ij ou avec Ig P^^ ^^^ chaine situee d'ailleurs dans (w) sans 

 couper I' que dans A. Dans ce cas d'apres b) 1° + J. ou 2^ -\- A 

 admette des chaines dans |'. Donc aussi dans ce cas 1"+ 2° 4- 3° +-4 

 admette des chaines dans |'. 4° est formee par les A. Donc 

 l** + 2" + 3° + 4'' admette des chaines dans |'. Mais la figure 

 10 _|_ 2» -|- 30 _^ 40 n'ggt autre chose que |'. Donc |' admette des 

 chaines dans |'. C'est-ä-dire que |' admette des chaines, 



XIX, L'intervalle (^^, Ig) contient un ensemble de se- 



* On prouve facilement, que la figure qui est formee par les points 

 'communs de la chaine et de 1", (2°) est fermee. 



