RECHERCHES GENER. SUR LA QUADRAT. DES SURFACES COURBES. 143 



conde categorie que nous designons par (Ij) tel que | 

 etant un point de (1^), |' (|' est la projection orthogonale de 

 la section ^ = | de t = g)^^^ sur le plan uv) aura les proprietes 

 suivantes. 



1°. Elle ne contient qu'au plus un point de T]^. De 

 meme pour rj^. 



2^ C etant Tun quelconque de ses points, dans un 

 voisinage quelconque de C il existe des points D, E de 

 (w) tels que 



9)(^) ((7) > (pW (D), 9)W (0) < cpW (E). 



3^ Sa mesure Interieure (dans le sens de M. Jordan) 

 est egale ä zero. 



4°. On a pour ses points 9^^) = qp. C'est-ä-dire, la section 

 ^ = I de la figure t = 9)^^' est situee sur la surface t = (p. 



Demonstration. 



Designons par (E^) l'ensemble des | tels que |' contient plus 

 qu'un point de % . Soit (E^) l'ensemble analogue relativement ä rj^. 



Designons par (jE") l'ensemble des | tels que |' contient au 

 moins un point C tel qu'il existe un voisinage de C, de maniere 

 que pour un point D quelconque qui est situe dans (*f) de ce 

 voisinage on ait ou 



Designons par {E") l'ensemble des | tels que la mesure 

 interieure de |' est plus grande que zero. 



— On prouve par des exemples que ces ensembles n'existent 

 pas necessairement. 



Je dis que chacun de ces ensembles est (s'il existe) 

 au plus denombrable. 



a) {E^) et (E^) sont au plus denombrables. 



Soit I un element de (E^). |' contient donc au moins deux 

 points J. et 5 de T]^. Soit K une cbaine simple qui etant situee 

 d'ailleurs dans (w) Joint Ä et B. Par K (w) sera decompose en 

 deux domaines, dont Tun sera tel que sa frontiere vraie ne con- 

 tient que des points de tJ^ parmi les points qui sont en connexion 

 avec lui (voir XI). Soit | la figure qui est formee par ces points 



