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de rj^. On conclut de XVIII que | appartient ä |', de plus les 

 figures I (qui correspondent aux diverses | de (E^)) n'ont deux 

 ä deux aucun point commun. Mais du theoreme qui va suivre on 

 conclut tout ä coup que Tensemble des ^ est au plus denombrable. 

 Ainsi {Ej} et de meme (E^) est au plus denombrable. ^ 



Theoreme. 



Soit w un domaine simple et soit f sa frontiere. 

 Designons par I l'ensemble des points qui sont en con- 

 nexion avec lui. Etablissons dans / un ordre de par- 

 cours. Soient H' et H" points de I. Designons par HR" 

 l'ensemble des points H de I tels que Fordre de H', H", H 

 soit H',R,H". Un ensemble des H'H" dont les elements 

 deux ä deux n'ont aucun point commun est au plus de- 

 nombrable. 



Pour demontrer ce tbeoreme, nous allons construire un en- 

 semble sous ensemble de I ayant les proprietes suivantes. 



A) II est denombrable partout dense dans I. 



B) H^ et Sg etant des points quelconques de I, JS^H^ con- 

 ti ent points de l'ensemble. 



Nous pouvons supposer que w est compris dans P (P est 

 le rectangle de Variation du point uv). 



Soit Z7j F^ une suite des divisions. Considerons les rectangles 

 de la s^^™® division, qui contiennent points de {w) et au moins un 

 point de f. 



Soit o;^. ■ un tel rectangle, nous designons par ä^^^ le domaine 

 rectangulaire dont la frontiere est le contour de a-, ^ 



Par Hypothese a^ ^ contient points de w, donc a^-y en contient 

 aussi. Soit A un point commun de ä,. ^ et de w. 



Soit V la figure qui est formee par les point de ä,-y, tels 

 qu'on les peut joindre avec A par des chaines situees dans 'ä^ y 

 Sans couper f. v est donc compris dans iv. 



On prouve facilement que v est un domaine simple, de plus 

 que sa frontiere contient des points parmi les points qui sont en 

 connexion avec lui. 



Soit R^' . un tel point. 



cc^ j peut contenir encore d'autres points de w que ceux de v, 



