RECHEKCHES GENER. SUR LA QUADRAT. DES SURFACES COURBES. 145 



on prouve facilement que ces points forment des domaines comme v. 

 Soient ju., l, ... ces domaines. On sait que leur ensemble est au 

 plus denombrable.* Choisissons pour chacun d'eux un point 

 jB""., H} „ .... de la meme maniere que nous avons choisi H"! . 



pour V. 



L'ensemble des points H! ., II'\, . . ., est donc au plus de- 

 nombrable. L'ensemble Q^ qui est la reunion de ces ensembles (dont 

 le nombre est au plus l^ • m^ est aussi au plus denombrable. Q^ con- 

 tient au moins un point, donc l'ensemble (F) qui est la reunion des 

 Q\i Qij • • • 6s^ denombrable. Je dis qu'il satisfait ä A) et ä B). 



II satisfait ä A). 



En eJÖfet soit Ä un point de I et soit d > 0. Lorsque s est 

 assez grand tous les rectangles de la 5*^™® division qui contiennent 

 Ä {Ä peut etre situe dans 1, 2 ou dans 4 rectangles) seront 

 compris dans le cercle dont le centre est en A et dont le rayon 

 est egal ä d. Mais Q^ a evidemment au moins un point E dans 

 l'un au moins de ces rectangles. On a ÄE <i d et E est un point 

 de {F), donc (F) est partout dense dans /. 



Nous allons montrer que {F) satisfait ä B). 



Joignons S^ et H^ par une cbaine simple K, qui est d'ailleurs 

 situee dans w. Par K w sera decompose en deux domaines dont 

 Tun 7C sera tel que les points de H^H2 seront en connexion avec 

 lui (voir X). Soit A un point de H^H^ (il est par definition 

 different de H^ et de H^. 



Soit s si grand que les rectangles de la s**™® division qui 

 contiennent A ne contiennent aucun point de K. 



Soit ß le rectangle qui est forme par les rectangles qui 

 contiennent A, et soit ß le domaine rectangulaire dont la fron- 

 tiere est le contour de ß. 



Soit AB une distance, qui issue de A va dans n et qui est 

 comprise dans ß (J. etant en connexion avec 7t il existe une teile 

 distance). 



Construisons la figure o qui est formee par des points de ß 

 tels, qu'on les peut joindre avec J5 sans couper f. 



* L'ensemble des domaines qui deux ä deux n'ont aucun point commun 

 est d'apres un theoreme de M. Cantor au plus denombrable. 



Mathematische und Naturwissenschaftliche Berichte aus Ungarn. XXVII. 10 



