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— On prouve facilement que o est un domaine simple com- 

 pris dans w, et que sa frontiere a des points dans ß, ces points 

 sont points de f. 



Mais il est presque evident que o et Tun au moins des 

 rectangles qui forment /3, ont au moins un domaine comme v 

 commun. 



Soit H' le point d'espece HJ , pour ce domaine. 



Je dis que H"^ appartient ä H^H^. 



Car on peut joindre H^ et A par une chaine qui est d'ailleurs 

 dans et ainsi (o etant partie de w) aussi dans iv. La chaine 

 etant dans o est dans ß, eile ne coupe donc K, et A est un point 

 de H^^. 



Donc H" est point de H-^H<2 (voir X). 



Ainsi H^H^ contient points de (F). 



D'apres ce qui precede on peut choisir dans cliaque H'H" un 

 point F' de (JP). A l'ensemble des H'H" corresponde donc un 

 ensemble des F' — les elements de cet ensemble etant differents 

 entre eux. Mais (jP) est denombrable, l'ensemble des F' est donc 

 au plus denombrable. 



Donc l'ensemble des H'H" est au plus denombrable. 



b) (£^') est au plus denombrable. 



Lemme. Soit {G) un ensemble de points d'un espace a 

 n dimensions (w etant un nombre fini). Soit F(G) une fonction 

 definie pour les points G de (G). Bien entendu F(G) est reelle^ 

 mais eile n'est pas necessairement bornee et uniforme. 



Nous disons que pour un point H de (G) la fonction F a 

 un maximum (minimum) lorsqu'il existe pour H un voisinage 

 (sphere ä n dimensions dont le centre est en H), de maniere que 

 pour les points G de (G) compris dans ce voisinage on ait 



, F{H)-F{G)-^0, (^0). 



D'apres un theoreme de M. Janiszewsky l'ensemble des va- 

 leurs extremes (maximums, minimums) de F est (s'il existe) au 

 plus denombrable. 



I etant un point de (E') d'apres 2^ | serait une valeur extreme 

 de cp^'^\ donc {E') est au plus denombrable. 



