RECHERCHES GENER. SUR LA QUADRAT. DES SURPACES COURBES. 147 



Remarque. De meme, Tensemble des H pour lesquels F a 

 une valeur extreme essentielle*) est (s'ilexiste) au plus denombrable. 



Ces theoremes furent etablis pour les fonctions continues par 

 M. ScHOENFLiESS et pour les minimas des fonctions semicontin- 

 ues par l'auteur. 



Mais on peut encore generaliser ces theoremes. 



Nous disons que pour un point H de (Gf), i^ a un maximum 

 (ou minimum) (valeur extreme), lorsqu'il existe un voisinage de 

 H de maniere que pour les points G de (G) situes dans ce 

 voisinage la relation 



F{H) - F(G) ^ 0, (< 0) 



est en general satisfait, de maniere que l'ensemble des valeurs 

 de F{G), {G etant un point du voisinage considere) qui ne satis- 

 font pas ä cette relation, soit un ensemble au plus denombrable 

 (ou de mesure nulle dans le sens de M. Lebesgue). L'ensemble 

 des valeurs extremes de F est (s'il existe) un ensemble au plus 

 denombrable (ou de mesure nulle). 



Nous disons que pour un point H de (G), F a une valeur 

 extreme essentielle, lorsqu'elle a une maximum (ou minimum) 

 pour H et lorsque dans un voisinage de H les points G de (G) 

 qui satisfont ä la relation 



F(ir)-F{G)^Ö, (^0), 



forment un ensemble au plus denombrable (ou de mesure nuUe). 

 L'ensemble des Ä^ pour lesquels F a une valeur extreme essen- 

 tielle est (s'il existe) au plus denombrable (de mesure nulle). 



c) {E") est au plus denombrable. 



Soit I un ' point de {E"). |' est formee par points de (w) 

 et par points de la frontiere f de (w). La mesure interieure de 

 I' est plus grande que zero, donc d'apres la definition connue de 



* Lorsque F a une valeur extreme pour H et il existe un voisinage 

 de H de maniere que pour les points G de (G) situes dans ce voisinage 

 l'egalite 



F{H) — FiG) == 



n'est satisfait que pour G ^ H, nous disons que F a une valeur extreme 

 essentielle pour H. 



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