EECHERCHES GENEE. SUR LA QUADRAT. DES SURFACES COURBES. 149 



XX. Soit X une suite de divisions (de Tintervalle 

 (0, a) de Taxe des x), et teile que les pomts diviseurs de 

 sa r*^™® division, qui se trouvent dans (1^, I2) soient points 

 de (li) pour chaque r. 



L'ensemble dont les elements sont les points diviseurs des 

 X^ qui se trouvent dans {i,^, I2) est evidemment denombrable et 

 partout dense dans (l^, ^2)- 



Choisissons deux points |j, ^^ de cet ensemble, de maniere 

 que li < ^11 . 



Considerons le domaine w^^^ relativement ä |j et considerons 

 le domaine w'^^ relativement ä Ijj (voir XVIII). 



On prouve facilement que les points communs de ces domaines 

 forment un [li, lu; ri^, r]^ qui est unique et bien determine. 



Designons-le par \w\ 



[w] et les points qui sont en connexion avec lui sont evi- 

 demment compris dans (w) -\- I. 



Le point uv variant dans [iv\ et dans l'ensemble des points 

 qui sont en connexion avec [iv\, nous definissons une figure J?(^) 

 par les equations 



X = 9^(1^ (ii, v), y = t («, v), z = i {11, v) . 



Nous avons forme pour B. les quantites Ä et B (voir XIV), 

 on peut evidemment former pour JR(^) des quantites analogues 

 ui.'^^\ JB^'^^ (par un procede analogue). 



Je dis que 



^(1) ^ A, £(1) < B. 



Rappelions que pour form er A on prend une suite de divisions 

 Xj Y^ et on forme ä l'aide des A^. . (voir XIII) la suite des 

 valeurs X, Y„, N, , • c^,- ,■ (voir XIV). Cette suite de valeurs a une 



»y. Tttj, *iJ *iJ ^ ' 



limite qui ne depende pas de la suite Xj Y^ . 



Donc pour former ^(^) on peut prendre une suite de divisions 

 Xj Yjj^ , de maniere que la suite Xj soit la suite consideree au 

 debut (la suite Y„, est arbitraire). Et on forme ä l'aide des A'! . 

 (relatives ä B^'^^) la suite des valeurs X, Y^ Nf j • cc. j (relatives ä B'^^^), 

 la limite de cette suite sera A'^^K 



Mais d'apres les proprietes de jR(^) (respectivement de ^ = 

 9)<^^(m, v)) un A'! . de jR'^^ est un [x^, ^j + iJ Vj, 2/y+iJ ^^ ^- Donc 



