KECHERCHES GENER. SUR LA QUADRAT. DES SURFACES COURBES. 153 



premier point de Kp-\- H^G^ sur ^q. On demontre comme ci- 

 dessus pour {m, g) que aiissi dans (^, M) 



et ainsi H(i) est semicontinue. 



XXII. Xj Y^ etant la suite des divisions que nous 

 avons fixee au No. XX pour construire Ä^^\ omettons de 

 (^i) les points diviseurs de ckaque Xj (qui sont compris 

 dans (^1, ^2))- L'ensemble omis etant denombrable le reste 

 sera un ensemble de seconde eategorie de (Ij, Ig)- Nous 

 designons par (Ig) sa partie qui est comprise dans (|j, |jj). 



Nous definissons pour les points | de (Ig) une suite de 

 fonctions F^ de la maniere suivante. 



Quelque soit | et r il est evident que | est compris dans 

 l'interieur d'un certain Intervalle de la r^^™® division X. . For- 

 mons la valeur Ä^'^^ = X^ Y^ N^j • a.j (voir XX). Nous posons 

 pour les I de (Ig) qui sont compris dans l'intervaUe (x^, x^_^_^) de Xj 



jr^(l) est donc definie pour chaque | et r. 



jP^(I) a donc la meme valeur pour les points | compris dans 

 {x^,x^_^j) de Xj . Ainsi 2^^(|) est continue sur l'ensemble (l,), 

 de plus eUe est integrable, car on a evidemment 



fF,{l)dx=X,Y„,N.,.a,,. 



Je dis que F^^^ ^K- 



Considerons le domaine «f^^^ relativement ä x^ et considerons 

 le domaine w^^^ relativement ä x^^^ (voirXVIII). La partie commune 

 de ces domaines est un domaine [x^, x-_^.^^-^ Vu V2] pour R^^^ (et 

 aussi pour B). Ce domaine est uniqne et bien determine. On 

 prouve facilement que lorsqu'un [x^, ^j + i; i/y, Pj + i] P^^r R^^^ existe, 

 il existe un [x^, x._^^; ^^,2/^+1] compris dans ce domaine. 



On obtient donc la valeur de i^^(|) dans (x^, x^^^) en faisant 

 la somme des y^^i — yj pour les [^i, x^+iTyj,yj+i] qui sont com- 

 pris dans ce domaine, et qui sont cboisis (voir XIII) de maniere 

 que deux ä deux ils n'aient aucun point commun et que la somme 

 en question ait la plus grande valeur possible. 



