RECHERCHES GENER. SUR LA QUADRAT. DES SURFACES COURBES. 161 



On prouve facilement que Tensemble 



-2(1), ^(2)? • • •? ^(niV -"(«i + l)» • • • -"M? ^K + 1)> • • • -^(n^J • • • 



satisfait ä l'enonce. 



5''. On prouve de plus facilement que (S^) peut etre 

 tel que (Äq) (^) (^oir XXI) est egale ä H(J^). De plus: (B^) 

 peut etre tel, que H etant un point quelconque de (JT) il existe 

 des points H^ et H^ de (Hq) de maniere que Hi<^ H <C H^. 



XXVI. Je dis que lorsque pour un point ^ de (I3) 

 (voir XXIV) H{^) a une valeur finie, la figure qui corre- 

 sponde ä la derivee de |' sur II est une ligne courbe 

 ä longueur finie. 



La longueur de cette ligne courbe est egale ä -ff(l). 



Demonstration. 



a) Soit (j9q) un enserable des points satisfaisant ä 1^ — 5" du 

 No. XXV. 



Soient 



-"(!)> -"(2)> • • • -"(?)? • ■ V 



ses elements (voir 4*^ du No. XXV). 



Soit w une variable qui varie dans l'intervaUe (0, 1) et soit 

 W un ensemble des valeurs de w, denombrable et partout dense 

 dans (0, 1) et tel qu'il ne contient pas les points et 1. 



On peut donc etablir entre les elements de W et de {H^ 

 une correspondance univoque et reciproque, de maniere que w^^ 

 etant l'image de H^-. dans W on ait 



^U) < ^(fc) lorsque H^^^ < H^^y 

 Nous definissons pour les points de W deux fonctions 

 /" et ^ en posant 



/■(«^(p)) = ^ (^(^))> 9 (^(p)) = % {^(p)), 

 ainsi /" et g sont les coordonnees y et 3 de II,^y 



b) Nous allons montrer que (Ä(^) est finie) les fonc- 

 tions f et g sont uniformement continues sur W. 



C'est-ä-dire nous aUons demontrer que pour chaque A > il 

 existe un ju- > de maniere que l'inegalite 



entraine 



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