7. 



SÜK UNE APPLICATION DES FONCTIONS 



MODÜLAIKES A LA THEOEIE DE LA MOYENNE 



ARITHMETICO'GEOMETßlQüE. 



Par LOUIS DE DAVID. 



II existe, comme on le sait, deux manieres de definir l'algo- 

 ritlinie de la moyenne arithmetico-geometrique: la definition alge- 

 brique d'une part et la definition transcendante d'antre part. 

 Nous aUons confronter ces deux definitions. Pour eela nous ferons 

 usage de la transformation lineaire des fonctions modulaires. En 

 faisant cette comparaison, nous voulons expliquer la relation non 

 seulement entre les algoritlimes , mais aussi entre les deux en- 

 sembles des valeurs limites des deux algorithmes. 



1. La definition algebrique sera donnee par Fidentite sui- 

 vante en x: 



x^ — 2(' + %,ic + (^+1)«/ = {x- (%i) {x — ^^a^ 



{i = 0, 1, 2, . . .), 



%j = a^, ^^a^ = «2 etant deux nombres complexes quelconques. 



On a ainsi 



{i = 0,l,2,..:). 

 Etant donnee une maniere quelconque de choisir* les racines 

 y^^a^^^a2, les limites lim (*W^ et lim ^^ki^ existent, et de plus eUes 

 seront egales:** 



lim%i=lim%2- (2) 



* L'ensemble des possibilites de choisir a la puissance du continu. 

 **• Voir une Note de l'auteur: Zur Theorie der ScHAPiRASchen Iteration. 

 Journal de Grelle, t. 135, p. 62—74. 



