LA THEORIE DE LA MOYENNE ARITHMETICO-GEOMETRIQUE. 165 



Les valeurs initiales a^ et a^ etant donnees, la valeur de la 

 limite (2) dependra naturellement de la maniere de choisir les 

 racines |/(%^%2- Acceptant la notation de Gauss, la valeur de 

 la limite (2) sera designee par M{a^, a^). 



2. La definition transcendante de l'algorithme est la suirante. 

 Soient 



Oj + 0, «2 4= ^; «1 ± ö'a H= 0. (3) 



II existe alors* uue valeur öq = cj = | + vY^— ^} V ^ ^ pour 

 laquelle on a 



a,:a, = &l^{(o):dl^((D), (4) 



ou 



avec ;w =t= 0. 



Nous allons introduire les notations 



h-^Ki^^), ^i = ^Ki^^) (5) 



(* = 0,1,2,...)(«, = 2^cd). 

 Transform ant les d- suivant les formules 



il sera, comme dans (1), 



Kl-U^+(^^), C.^.-V^C, (6) 



{l = 0, 1, 2, . . .), 

 oü on a 



Les series bien connues des #■ donnent 



lim^2^(«,) = lim^2^(cö,)=l. (7) 



2 = 00 Z = 00 



Enfin, par (5), 



lim h. = lim c. = ^. (8) 



i = 00 (' = 00 



Le nombre o etant fixe, les equations (5) definissent un algorithme 



* Voir un Memoire de l'auteur: Theorie des ÖAussschen verall- 

 gemeinerten und speziellen arithmetisch -geometrischen Mittels, t. XXV de 

 cette Revue, p. 153 — 171, oü Ion trouve aussi d'autres indicationa litteraires. 

 Les notations du 1. c. sont un peu modifiees. 



