LA THEORIE DE LA MOYENNE ARITHMETICO-GEOMETRIQUE. 167 



Dane ce cas on a aussi 



^oo(«') = (7« + ^)^oo(«)-« 

 L'equation derniere de b) subsiste aussi pour le mod. 4. Dans 

 ce cas on a 



ä cause de l'invariance de a^: a^. (Voir a).) 

 Par suite: 

 c) »Pour le mod. 4 on a 



5. Et maintenant uous allons donner la reponse ä la question 

 premiere. 



Transformons en (4) co, au sens du theoreme a), en a, et 

 par 9a ^ en fi'. Cette transformation nous conduit ä toutes les 

 valeurs de M(a^, a^) qui peuvent etre definies de maniere trans- 

 cendante. Et selon 



«1 = ."'^oo(ö) = /'^oo(»',) = /(yw + ^)^lo((^), 

 on a 



/=^^ (y^O, d^l, mod.4). (9) 



Si apres (9) il sera 



/•"-T^. (-'="^+1) (7'-0,* = l,mod.4), 

 alors: 



{i = — '—-^ , 



yco-\-8 

 OÜ 



y = ay' -\- yd' ^ 0, 



d = ßy'+dd'=l (mod. 4J. 



6. Pour recevoir une reponse a la deuxieme question, nous 

 demandrons: Etant donne l'entier X, quelle est la Substitution 

 de o, pour laquelle 



&,:c, 0- = 0,l,...>l) 

 est invariable, mais 



change de signe? 



^x + i • ^;. + i 



