LA THEORIE DE LA MOYENNE ARITHMETICO-GEOMETRIQUE. 169 



ont des signes differents. Soit cette ligne la s^^^^, c'est-ä-dire on 



aura ''"^a = ~ ^^-i- 



Nous appliquons une transformation (10) avec A4-l=s — 1 

 Nous aurons 



b, : c, = &li2^co') : ^^,(2^«') (.: = 0, 1, . . . 5 - 2) , 



En tenant compte des equations (voir les formulea n° 2) 



^^i-Hh + c;), cl^^ = h,c, G = 0,1,. ..s-2), 

 on verra l'existence d'un [i, pour lequel 



6, = ^'&U2^<o'), c, = ^>^i(2^«') {i = 0, 1, ... s- 2), 



En appliquant successivement ces transformations (10), on arrive 

 ä une suite des a: 



CO, w', w(2\ . . . wC^), 



et ä une suite correspondante des ^a: 



de maniere qua tout entier s il corresponde un 6, pour lequel 



(i)a^ = ^(«)^2^ (2*a(")) (/ = 0, 1, . . . s) . 

 Alors Tequations (2) donnera 



d oü* 



lim 0-2o('2'co(''') = lim &l^{2'(o("^) = 1, 



t = 00 t = 00 



ou enfin 



lim fi^") = M. (11) 



= 00 



8. Nous ajoutons ä l'equation (9) quelques remarques. 

 Etant donnees ju. et co, en choisissant y ^0, 6^1 (mod. 4) 

 Premiers entre eux, d'ailleurs quelconques: l'equation ad — ßy = 1 



* Voir p. ex.: Tannery-Molk, Elements de la theorie dea fonctions 



ellipt. t. IV (1902), p. 126. (q = -^-\-^, x^ = 1 — x' -); ou Weber I.e. p. 144. 



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