LA THEORIE DE LA MOYENNE ARITHMETICO-GEOMETRIQUE. 171 



Si on a 



c'est-ä-dire 

 on aura* 



^ («1 , <^) ^ '^ ^ 



s etant un entier quelconque. 

 On trouve ainsi 



1 d -{- 4ys iy 



ft'C«!,««) fi(ai,«2) ftC«!,«^) 



Pour indiquer que ^' {a^, a.^) et iii{p.y,a.^ sont des valeurs de 

 M{a^, a^), noiis ecrivons 



1 d -f 4ys . iy 



aK(ai, a„) ilf («1 , «j) ilf (a^, d) 



ou en tenant compte que d 4- 4ys ^^ d (mod. 4) est une des 

 valeurs possibles de d, 



M (aV, «T) ^ Mla~a^) "*" W{a,^l) ^^ = V" 1 j • (12) 



Pour les valeurs de 31 (a^, a^) qui ne fönt pas partie de l'en- 

 semble m 



(12 a) 



ly 



m (a^ , a,) 31 («1 , a,) iV/ («j , d) 



sera aussi petit que l'on veut**, comme ces valeurs de M{a^, a^) 

 sont des points limites de l'ensemble m. 



Au cas 9JJ (a^, «g) = 3I(a^, a^) on aura y = 0, d = 1. 



L'egalite (12) se trouve, sans demonstration, dans les oeuvres 

 posthumes de Gauss***, exemplifie ä un cas numerique. 



Gauss traite le cas oü les a^, a^ sont reels positifs, il entend 

 par M{a^, a^) la limite en choisissant toujours des racines posi- 

 tifs, en designant par 9)Z(aj^,a2) une des valeurs de 3/((%j, — ^''■»2); 

 (s = l,2,...). 



La valeur d = 1 est possible pour (12), comme nous l'avons 

 vu au n°. Gauss n'a note que ce cas particulier. 



* Voir le Memoire cite t. XXV de cette Revue, p. 158 — 160. 

 ** Exceptee naturellement la valeur M{a^, a^) = 0. 

 *** Werke t. III p. b78. 



