ELEM. BEWEIS DES HADAMARDSCHEN DETERMINANTENSATZES. 175 



Diese Transformation ist eindeutig, denn die x können suk- 

 zessive aus linearen Gleichungen berechnet werden, sofern nicht 

 der Koeffizient irgendeines x verschwindet, dies würde aber be- 

 deuten, daß für einen Wert des Index ^ 



wird; diesen Fall können wir aus unseren Betrachtungen ausschließen^ 

 denn es wird jetzt Z) = 0, und der Satz ist trivial. 



Zu dem HADAMARDschen Satze führt jetzt der Umstand, daß 

 die einzelnen Schritte das Produkt ^11623 • • . c„„ nicht ver- 

 größern, höchstens unverändert lassen. Denn die erste Zeile 

 blieb unverändert, es ist daher 



Cji = 711 •, 



die Veränderung der zweiten Zeile zieht bloß eine Änderung des 

 Faktors Cgg nach sich; und zwar ist x-^^ so bestimmt, daß der Aus- 

 druck 



(f{x) = («21+ a;aiJ(ä2i+ ^«ijH h («2« + ^«^i«)(«2« + ^«in) 



für X = x-^^ zum Minimum wird; (f{x) unterscheidet sich nämlich 

 von dem Produkte 



r\){x) 





Kl «11 H h«i««i«)^ 



nur in einer additiven Konstante, daher können wir statt des Mi- 

 nimums von q)(x) dasjenige von tl^^x) betrachten; 'iij(x) wird nie- 

 mals negativ, wenn es also den Wert annimmt, dann wird es 

 zum Minimum, dies erfolgt aber an der Stelle x = x^-^^. Nachdem 

 offenbar 033= ^(0) und 722=^(^11) i^^? somit ist klar, daß 



^22 ^ 722 • 



Eine ähnliche Bemerkung gilt in bezug der Veränderung der drit- 

 ten Zeile; wir haben gesehen, daß für denjenigen Wert von x, für 

 den die Zeile a^i-i- xa^.(i=l,. .., n) zu der Zeile «1 ,• (* = ^ , • • •, *0 

 orthogonal wird, gleichzeitig der Ausdruck ^(a»i -}- xcc^ ,) (äg,- -\-xai^ 



