176 OTTO SZÄSZ. 



zum Minimum wird — mutatis mutandis — , wird jetzt für den- 

 jenigen Wert von x^, für den die Zeile 



«3 . + x^a^. 4- x^a^^i {i = 1, • • -, n) 

 zur Zeile cc^^ (i ^= 1, . . ., n) orthogonal wird, zugleich der Aus- 

 druck ^(«3 ^ + x^a^^-}- X2CC2 J-) («3 i + .f j äj ^ + x^ äo ^■) zum Minimum 



(x^ sei einstweilen ein unbestimmter Parameter), dies erfolgt für 

 ^1 = ^12 7 weiter wird für den Wert von x^ , für den die Zeile 

 %<+ ^i2'^it+ ^2<^2t (*' = 1, • • •, **) ^^J" Zeile a^- (?' = 1, . . ., w) or- 

 thogonal wird, zugleich der Ausdruck 



^{^Zi ~l~ ^12^^11 "^ ■^2'^2i) \%i "^ ^IS^'^li ~l~ ^2^2i) 



(0 

 zum Minimum. Somit ist bewiesen, daß 



^33 ^ 5^33 • 



Es ist klar, daß in bezug der übrigen Schritte eine ähnliche Be- 

 merkung gilt, so daß ferner 



Aus diesen Relationen, vereint mit der Gleichung {y\ folgt, daß 



CjiC22...C^„^7)^, (!') 



was eben zu beweisen war. 



Es ist klar, daß in (I) das Gleichheitszeichen gilt, wenn irgend- 

 eines der Cj.^ verschwindet (d. h. wenn a.^ =0? 01^.2 = 0, • • •, a^.^ = 0), 

 oder wenn c^^-= für jedes i und Ä {i =^ h)-^ aber auch nur in 

 diesen Fällen, denn wenn keine dieser Bedingungen erfüllt ist, so 

 kann ich auf die angeffebene Art zu einer anderen Determinante 

 vom Werte D übergehen, so daß die obere Grenze sinkt, also 

 nicht schon das Minimum sein konnte. 



Mittels derselben Beweismethode läßt sich der Satz für be- 

 liebige Matrices ableiten. 



2. 



Die von Fischer gegebene Verallgemeinerung des Satzes (II) 



lautet folgendermaßen: 



Sei 



'"n • • • "^In 



M = 



m < n 



