ELEM. BEWEIS DES HADAMARDSCHEN DETEßMINANTENSATZES. 177 



eine beliebige Matrix, dann ist 



MM ^{2±c,,... c^^) {E ± c^^,^^^, . . . c^ J (M) 



oder kurz _ 



MM^ria,,), 



Q bedeute eine der Zahlen 1, 2, . . ., m — 1. 



Hier ist 



MM^E±c,,c,,...c^^. 



Ich unterscheide drei Fälle: 



a) Sämtliche Minoren ^-ter Ordnung, gebildet aus den q ersten 

 Kolonnen, verschwinden; in diesem Falle ist der Satz trivial 

 {MM = 0). 



/3) Es verschwinden alle aus den q ersten Kolonnen gebilde- 

 ten Minoren Q-iev Ordnung, mit Ausnahme des in F vorkommen- 

 den Minors; in diesem Falle gilt in (-M) das Gleichheitszeichen. 



y) Außer dem Minor 2? + q^ . . . c gibt es noch mindestens 

 einen aus den q ersten Kolonnen gebildeten Minor, der nicht ver- 

 schwindet.* 



In diesem Falle kann ich ohne Beschränkung der Allgemein- 

 heit voraussetzen, daß für ein k, das größer ist als q, 



Jetzt seien die Elemente a^,^ der Matrix variabel, so zwar, daß 



2 ± CnC^2 ■ ■ ■ Crnm- ^ ' (F) 



konstaut und von Null verschieden sei, womit der Fall a) aus- 

 geschlossen ist. 



Ich betrachte also eine mn — 1 dimensionale Menge von Ma- 

 trizen, zwischen denen die Matrix M enthalten ist. Nachdem F 

 eine stetige Funktion der a-^ ist, die niemals negativ wird, so hat 

 sie ein Minimum bei der Bedingung (F). Sei dies Minimum z. B. 

 mit den Elementen der Matrix 



M,,= 



, .... -w» 

 erreicht; wenn ich beweisen kann, daß für diese Matrix der Fall 



* Ein vierter Fall ist unmöglich. 



Mathematische und Naturwissenschaftliche Berichte aus Ungarn. XXVII. 12 



