ELEM. BEWEIS DES HADAMARDSCHEN DETERMINANTENSATZES. 179 



gemacht werden als 2J ± z^j^ . . . s^^, denn der Koeffizient von x 

 ist — laut Voraussetzung — von Null verschieden. 



Somit ist der Satz (M) vollständig bewiesen. 



Es ist klar, daß in den Fällen a) und ß) in (M) das Gleich- 

 heitszeichen gilt; aber auch nur in diesen Fällen, denn im Falle y) 

 ist — wie wir sahen — der Wert von F nicht der minimalste.* 



Indem ich den Satz wiederholt auf die einzelnen Faktoren 

 von r anwende, erhalte ich, daß 



{Qi<Q2<- ■ ■ <Qk<'>^)- 

 Diese Relation enthält alle vorangeführten Sätze als spezielle Fälle 

 in sich. 



3. 



Wir beweisen folgenden Satz: 



Jeder Hauptminor der HERMiTEschen Determinante z/ = [ft^. J "^ 

 sei positiv, dann ist 



Der Satz gilt ofi'enbar für w = 1, 2. Ich setze voraus, daß er für 

 die Ordnungen, die kleiner sind als n, gilt und beweise, daß er 

 dann auch für die Ordnung n gilt. 



Offenbar ist die adjungierte Determinante von z/ 



auch eine HERMiTEsche Determinante; es ist gemäß eines Jacobi- 

 schen Satzes: 



2± Bn-- B^^=J^-^2± &, + .,, + ! • ■ . Kn, (1) 



also ist auch jeder Hauptminor der adjungierten Determinante 

 positiv. Jetzt ist laut Voraussetzung: 



* Ich kann nachträglich nur kurz bemerken, daß der Fall ß) dann 

 und nur dann eintritt, wenn [Cj.^j^=(=0 und c^j.^0 für i= q -\- \,- • • ,»i; 

 Ä; = 1 , • ■ ■ , p (auch von Fischer angegeben) ; dies ergibt sich daraus , daß 

 die Determinante des Gleichungssystems 



nicht verschwindet. Hier bedeutet D^f. den in [c^-J^ zu c^j. gehörigen Minor. 



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