180 SZASZ. BEWEIS DES HADAMARDSCHEN DETERMINANTENSATZES. 



B,,£ (^± &u • ■ • ^,-t,,-i)(^+ ^^^„^^ ■ ■ ■ Kn) (3) 

 Aus den Relationen (1), (2) und (3) folgt nun 



Es ist noch 



also wird schließlicli 



^ ^ (-2^+ &u • • ■ ^-i„-i) (2± %, ■ • • KJ ■ * (4) 



Der Satz läßt sich noch etwas verallgemeinern, indem auch 

 folgender Satz gilt: 



Wenn sämtliche Hauptminoren der Determinante z^ positiv 



r ^•l 



sind und wenn solche Zahlen \,...jl>^ existieren, daß ^ikrrl 

 eine HERMiTEsche Determinante wird, so ist 



r i 



Der Satz folgt daraus, daß [ö^-j] und 



Hauptminoren übereinstimmen. 



Bemerkung: Sei z/ eine orthogonale Determinante, dann ist 



71 1 



^ = 1 = /7(&a&a + • • ■ + hÄn)^ 



« = i 



und andererseits 



daher ist 



In Worten: Die einzige positiv deflnite HERMiTEsche Form von 

 n Variabein, deren Diskriminante eine orthogonale Determinante 



*"»..! 



in 





ihren sämtlichen 



* Auch hier läßt sich leicht zeigen, daß für nichtverschwindendes z/ 

 in (4) dann und nur dann Gleichheit gilt , wenn b.j. = für i = p ,...,« ; 

 Ä;=l,---,e — 1. Dies ergibt sich mit vollständiger Induktion. Wegen 

 Raummangel kann ich dies nicht ausführen. 



