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I. FRÖHLICH. 



Dies ist ein System linearer Differentialgleichungen zweiter 

 Ordnung mit constanten Coefficienten, welches ohne Schwierigkeit 

 gelöst werden kann. 



§. 14. Die LAGRANGE-.s(7?t' Delerminanle der Bewegmifjfifjlei- 

 chungen. Zerlegung derselben in ein Produd zweier Unterdeler- 

 minanlen. 



A) Es sei 



ak = Auco^{U-\-d); k=l,^,...n; .... (56) 



ein System von particulären Lösungen des Systems (55); dann haben 

 nach (55) die Constanten Ak folgenden Bedingungen zu genügen : 



(«11— A2)Ai + «i2A2+ . . . +ainAn=0 

 «12A1+ («22-/^)^2+ • • • +«l,n-lA„ = 



D = 



ainAi+ . . . +ai2A„,_i + (rtii-A'^)A„=0 



(57) 



Es ist demnach die LAORANGE-sche Determinante des Syste- 

 mes, welche hier zugleich die Bestimmungsgleichungen für P giebt 

 (die hier vom n-ien Grade ist), eine in Bezug auf beide Diagona- 

 len symmetrische Determinante : 



«11 — A^ ai2 «13 «l,n-2 rtl,n-l «Iw 



«12 «22— A^ «12 «l,«-3 «l,n-2 <kn-\ 



Chk 



rtl.fc-1 



«12 CLkk—^^ «12 



«l,w-fc «1,H-A: + 1 



«l,n-l «l,n-2 «l,n-3 «12 «22— A^ «12 



«],n «l,n-l «l,ri-2 «13 «12 



«11-^^2 



= 0(58) 



Der Satz, dass alle Wurzelwerte X^ dieser Gleichung reell sind, 

 ist mehrfach bewiesen worden, wir setzen daher diese Eigenschaft 

 der P als bekannt voraus. (Vergl. z. B. Kouth, Dynamics of a 

 System of rigid bodies, v. II, p. 36, Fussnote.) 



Bj Wir wollen nun beweisen, dass diese Determinante in Folge 

 ihrer zweifachen Symmetrie als Product zweier anderer Determi- 

 nanten darstellbar ist ; und zwar, wenn n eine gerade Zahl ist, dann 

 ist jede dieser letztgenannten Determinanten vom |-H-ten Grade ; 



