ANZIEHUNGEN UND ABSTOSSUNGEN SCHWINGENDER MAGNETE. 121 



ist jedoch n ungerade, dann ist der Grad der einen Determinante 

 |(7i+l), der anderen ^{ti — 1). 



Als Ausgangspunct der Zerlegung dient derjenige elementare 

 Satz aus der Determinanten-Theorie, welcher besagt, dass der Wert 

 der Determinante sich nicht ändert, wenn man zu den Elementen 

 einer Colonne (oder Zeile) die mit einem beliebigen, j«doch dem- 

 selben Factor multij)licirten entsprechenden Elemente einer ande- 

 ren Colonne (oder Zeile) hinzufügt. 



Wii' werden diesen Satz in der folgenden Beweisführung oft 

 benützen ; jedoch erscheint es zweckmässig, den Fall der geraden 

 )i und der ungeraden n. gesondert zu behandeln. 



aj Es sei n eine gerade Zahl. 



Addiren wir zu den Elementen der ersten Colonne von (58) 

 die entsprechenden Elemente der //-ten Colonne ; zu den Elemen- 

 ten der zweiten Colonne die entsprechenden Elemente der 

 (// — l)-ten Colonne u. s. w. ; schliesslich zu den Elementen der 

 |-/i-ten Colonne diejenigen der ^n-\-\-iQ\\ Colonne; die Elemente 

 der übrigen |-u+l-ten, |^/< + 2-ten, .... vi-ten Colonnen bleiben 

 unverändert. Der Wert der Determinante D wurde durch diese 

 Operationen nicht geändert ; nur ihre innere Structur. Ziehen wir 

 in der so gebildeten Determinante die Elemente der ersten Zeile 

 von den entsprechenden Elementen der vi-ten Zeile ab ; die Ele- 

 mente der zweiten Zeile von denjenigen der (m — l)-ten Zeile u. s. w. ; 

 schliesslich die Elemente der l^u-ten Zeile von denjenigen der 

 -|'/^ + l-ten Zeile. 



Auch durch diese Operationen wurde der Wert der Determi- 

 nante D nicht geändert ; aber wir finden nach Beendigung dieser 

 einfachen Operationen, dass diejenigen Elemente, die auf den 

 Schnitt- (Kreuzungs-) Puncten der ersten, zweiten . . . \n-iQn 

 Colonne mit der ^n-\-\.-ien, |^n + 2-ten .... n-ien Zeile liegen, 

 den Wert Null erhalten ; die Anzahl dieser Elemente ist ijn)^. 



Es ist demnach diese Determinante D gleich dem Producte der 

 beiden adjungirten Unter-Determinanten vom ^//-ten Grade. 



Gemäss (58) und der hier erwähnten Operationen wh-d die 

 Structur der beiden Subdeterminanten D^ und Dj, durch folgende 

 Ausdrücke explicite dargestellt: 



