310 FRIEDRICH RIESZ. 



Gleich bei dem ersten Schritte, schon bei der ersten Frage 

 stoßen wir auf eine Lücke, an der man lange Zeit hindurch 

 stillschweigend vorüberging. Die Systeme von Dingen, mit denen 

 die Geometrie als reine Wissenschaft arbeitet, erscheinen bei dem 

 Aufbau zu mathematischen Kontinua vereinigt, es kommen ihnen 

 gewisse Stetigkeits- oder richtiger Zusammenhangseigenschaften 

 zu, sie erscheinen verdichtet, indem auf Grund der Axiome Ele- 

 mente gewissen Teilmengen als Verdichtungsstelleu zugeordnet 

 werden. Ja, eben jene Versuche zur Grundlegung der Geometrie, 

 die der physikalischen Auffassung am nächsten stehen, operieren 

 von Haus aus mit einer Art mathematischen Kontinuums; sie 

 stellen doch an die Spitze den Begriff der w-fach ausgedehnten 

 Mannigfaltigkeit.* Dagegen sind unsere Raumvorstellungen physi- 

 kalische Kontinua, Systeme von Dingen, die unterscheidbar oder 

 ununterscheidbar sind; die maßgebenden Beziehungen sind von 

 jenen für mathematische Kontinua im Grunde verschieden. 



Jedenfalls lassen sich Systeme von Teilmengen eines mathe- 

 matischen Kontinuums leicht als physikalische Kontinua auffassen, 

 wenn nämlich Teilmengen mit gemeinsamem Elemente für un- 

 unterscheidbar, Teilmengen ohne gemeinsames Element aber für 

 unterscheidbar gelten; wir werden auch für jede einzelne Raum- 

 vorstellung entsprechende mathematische Kontinua angeben können; 

 damit ist aber die Frage, ob alle möglichen Raum Vorstellungen 

 mittels eines einzigen mathematischen Kontinuums beschrieben 

 werden können, noch weit nicht erledigt. 



Diese erste und die letzte Frage sind aber nicht die wichtig- 

 sten; für die praktische Geometrie kommen wir mit unseren geo- 



* Bei RiEMANN haftet noch etwas Mystisches an diesem Begriff; bei 

 LiE ersetzt ihn ohne weiteres das Zahlenkontinuum; allgemeiner und scharf 

 detiniert erscheint er erst bei Hilbert (Göttinger Nachrichten, 1902, j). 17). 

 Er läßt jedoch noch weitere Verallgemeinerung zu. Mit besonderer Vor- 

 liebe, meistens jedoch mystischer als die Wahrsager von Delos, äußern 

 sich über die Stetigkeit Philosoijhen , die nicht Mathematiker sind. Ich 

 wiederhole hier die Worte Rüssels, die nicht nur für Hegel charakteristisch 

 sind : . . . the Hegelian dictum that every thing discrete is also continuous 

 and vice versa. This remark . . . has been tamely repeated by all his foUo- 

 wers. But as to what they meant by continuity and discreteness, they 

 preserved a discrete and continuous silence; .... (Principles of math. I, p. 287.) 



