DIE GENESIS DES RAUMBEGRIFFS. 313 



Kontinuum, für welches Sätze gelten, die dem Bolzano-Weier- 

 STRASS sehen, resp. dem verallgemeinerten Borel sehen Satze für 

 Punktmengen analog sind; auch gibt es für jeden seiner Punkte 

 eine konvergente abzählbare Reihe; und es läßt sich auch ein 

 ausreichendes System spezieller Umgebungen angeben, das ab- 

 zählbar ist. Alle diese Eigenschaften sind aber noch einer aus- 

 gedehnten Klasse mathematischer Kontinua eigen; wie soll nun 

 unser Raum weiter charakterisiert werden? 



Eine Eigenschaft aller geometrischer Systeme, die wir für 

 die Beschreibung unserer Raumvorstellungen verwenden, ist, ohne 

 im vollen Umfange verstanden zu werden, jedem geläufig, der 

 einen Unterricht in den ersten Elementen einer beschreibenden 

 Geometrie erhalten hat; jene nämlich, daß der Raum eine 

 Mannigfaltigkeit von drei Dimensionen ist. Für die Raum- 

 vorstellungen als physikalische Kontinua hat es Herr Poincare 

 versucht, den Dimensionsbegriff zu präzisieren; er gelangt zu dem 

 Resultate, daß es erlaubt und bequem ist, die Raumvorstellungen 

 derart als physikalische Kontinua aufzufassen, daß man mit 3 

 Dimensionen auskommt.* 



Wird man es aber versuchen, den Poincare sehen Dimensions- 

 begriff einer weiteren Untersuchung des Raumbegriffes zugrunde 

 zu legen, so stößt man bald auf große Schwierigkeiten. Zunächst 

 rechnet schon Poincare bei der Einführung des Begriffes nicht 

 mit den Merkmalen, die auch schon einer naiven Dimension s- 

 vorstellung eigen sind, so z. B. daß ein System gewisser Dimen- 

 sion kein System höherer Dimension enthalten soll. Nach der 

 Poincare sehen Definition wird ein Doppelkegel als physikalisches 

 Kontinuum von einer Dimension sein. Doch läßt sich diesem 

 Fehler noch leicht abhelfen. Die größte Schwierigkeit liegt darin, 

 daß der Dimensionsbegriff für mathematische Kontinua schwer zu 

 fassen ist**; vor einer gründlichen Analyse dieses Begriffes kann 

 nicht daran gedacht werden, den Dimensionsbegriff fär physi- 

 kalische Kontinua und jenen für mathematische Kontinua irgend 

 wie miteinander zu verbinden. Der Dimensionsbegriff kann so- 



* La valeur de la science, p. 59—136. 

 ** Bezüglich des Dimensionsbegriffes für Punktmengen s. F. Riesz, Sur 

 les ensembles discontinus, Comptes Rendus, 23 octobre 1905. 



