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mit den weiteren Untersuchungen einstweilen nicht als sichere 

 Grundlage dienen. 



Anstatt unsicher herumzutasten, lenke ich meine weitere 

 Untersuchungen in bestimmte Richtung. Ich kehre nämlich die 

 Frage um und frage nun: Alle die Untersuchungen, die an die 

 Grundlegung der Geometrie von dem Begriffe des stetigen 

 Raumes aus herangehen, schreiben dem Verdichtungs- 

 typus des Raumes gewisse Eigenschaften zu-, welche neue 

 Voraussetzungen über unsere Raumvorstellungen müssen 

 nun herangezogen werden, damit für den Verdichtungs- 

 typus des Raumes jene Eigenschaften folgen? Auf dieser 

 Stufe tritt der Begriff der Anordnung, der in kleinerem Maße 

 schon zur Erklärung der zeitlichen Anordnung mitwirkte, in 

 vollem Umfange auf. Der Begriflf des geordneten physikalischen 

 Kontinuums erscheint schon auf einer niederen Stufe der Raum- 

 anschauung, indem wir gewissen Gegenständen Länge, Breite und 

 Höhe zuschreiben. Mittels der Begriffe des geordneten physika- 

 lischen und des geordneten mathematischen Kontinuums gelingt 

 es mir, jene Voraussetzungen anzugeben, welche notwendig sind, 

 damit der Raum als ein mathematisches Kontinuum erscheine, 

 das in der Umgebung eines jeden seiner Punkte dreifach geordnet 

 werden kann, derart, daß der Punkt eine absolut zusammen- 

 hängende, vollständige Umgebung besitze. Die früheren Voraus- 

 setzungen bewirken es dann, daß der Raum mittels der reellen 

 Zahlen beschrieben werden kann. 



Durch die erreichte Umgrenzung des möglichen Verdichtungs- 

 typus des Raumes ist jedoch die Grundlegung der Geometrie noch 

 weit nicht beendet. Der Verdichtungstypus ist noch nicht ein- 

 deutig festgelegt; aber auch durch eine eindeutige Festlegung 

 desselben würden erst für die Analysis Situs die Fundamente 

 gelegt sein. Die metrische, affine, ja schon die projektive Geo- 

 metrie zeichnen gewisse Punktmengen über andere, die ihnen 

 homöomorph sind, aus; welche weitere Voraussetzungen führen 

 zu einer derartigen Unterscheidung homöomorpher Punktmengen, 

 führen z. 'B. zu dem Begriffe der Geraden? Auf die diesbezüo-- 



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liehen Probleme gehe ich hier nicht tiefer ein; ich berühre sie 

 nur in kurzen Andeutungfen. 



