316 FRIEDRICH RIESZ. 



häugendes physikalisches Koütinuum auf beliebige Art in zwei 

 Teilmengen zerlegt, so gibt es stets wenigstens je ein Element 

 der beiden Teilmengen, die ununterscheidbar sind. 



Wird ein zusammenhängendes physikalisches Kontinuum der- 

 art in zwei Teilmengen zerlegt, daß die eine Teilmenge nur ein 

 Element enthält, dann gibt es wenigstens ein Element der andern 

 Teilmenge, welches ununterscheidbar von jenem Elemente ist. 

 Damit also ein physikalisches Kontinuum zusammenhängend sei^ 

 ist es unbedingt notwendig, daß es zu jedem Elemente desselben 

 wenigstens ein ununterscheidbares Element gebe. Es leuchtet 

 unmittelbar ein, daß diese Bedingung nicht zugleich hinreichend 

 ist. Die notwendige und zugleich hinreichende Bedingung liefert 

 der Satz: 



Satz I: Sind a und h zwei beliebige Elemente eines 

 zusammenhängenden physikalischen Kontinuums, so gibt 



es eine endliche Kette a, q, Cg, , c^, h von Elementen, 



derart, daß je zwei aufeinanderfolgende Elemente der 

 Kette ununterscheidbar sind. Umgekehrt, gibt es für 

 jedes beliebige Elementenpaar eines physikalischen 

 Kontinuums eine endliche Kette der bezeichneten Eigen- 

 schaft, so ist das physikalische Kontinuum zusammen- 

 hängend. 



Gäbe es nämlich zu irgend einem Elemente a eines zusammen- 

 hängenden physikalischen Kontinuums ein Element h, so daß das 

 Elementenpaar a, h nicht die bezeichnete Eigenschaft besäße, so 

 bildete die Gesamtheit aller solchen Elemente h eine gewisse 

 Teilmenge; jedes Elementenpaar, das aus einem Elemente der 

 Komplementärmenge und aus dem Elemente a besteht, besäße die 

 bezeichnete Eigenschaft. Da nun das physikalische Kontinuum 

 zusammenhängend ist, so gäbe es ein Element d der Teilmenge 

 und ein Element e der Komplementärmenge, die ununterscheidbar 

 sind; es gäbe daher eine endliche Kette a, c^, c^, ■■■,<^.„, ßj d? so 

 daß je zwei aufeinanderfolgende Elemente der Kette ununterscheid- 

 bar wären. Das Elementenpaar a, d besäße somit die bezeichnete 

 Eigenschaft, was jedoch unserer Voraussetzung widerspricht. 



Umgekehrt, es werde ein physikalisches Kontinuum, für 

 dessen jedes Elementenpaar die Eigenschaft zutrifft, auf beliebige 



